Question

Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином ньютона и треугольник паскаля:
а) (х+у)^6
б) (1-2а)^4

Answer 1

Добрый день! Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и объяснить, как представить степень двучлена в виде многочлена с использованием бинома Ньютона и треугольника Паскаля.

а) Для представления двучлена (x + y)^6 в виде многочлена мы можем использовать бином Ньютона и треугольник Паскаля.

Бином Ньютона гласит, что (a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n, где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

Треугольник Паскаля служит для определения биномиальных коэффициентов. Каждое число в треугольнике равно сумме двух чисел выше него. Начинается треугольник с числа 1.

Теперь давайте применим бином Ньютона и треугольник Паскаля к двучлену (x + y)^6.

Первым шагом построим треугольник Паскаля для степени 6. Он будет выглядеть следующим образом:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

Теперь мы можем использовать треугольник Паскаля для нахождения коэффициентов перед каждым членом многочлена. Важно помнить, что в данном случае "x" и "y" будут принимать значения x и y, соответственно.

(x + y)^6 = C(6, 0)x^6 y^0 + C(6, 1)x^5 y^1 + C(6, 2)x^4 y^2 + C(6, 3)x^3 y^3 + C(6, 4)x^2 y^4 + C(6, 5)x^1 y^5 + C(6, 6)x^0 y^6

Теперь заменим биномиальные коэффициенты на соответствующие значения из треугольника Паскаля:

(x + y)^6 = 1*x^6*y^0 + 6*x^5*y^1 + 15*x^4*y^2 + 20*x^3*y^3 + 15*x^2*y^4 + 6*x^1*y^5 + 1*x^0*y^6

Таким образом, представление двучлена (x + y)^6 в виде многочлена будет:

(x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6

Теперь мы имеем многочлен, в котором каждый член содержит различные комбинации степеней "x" и "y", исходя из биномиальных коэффициентов из треугольника Паскаля.

б) Представление двучлена (1 - 2a)^4 в виде многочлена можно выполнить по тому же принципу.

Сначала построим треугольник Паскаля для степени 4:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Затем мы будем заменять биномиальные коэффициенты значениями из треугольника Паскаля:

(1 - 2a)^4 = 1*(1)^4*(-2a)^0 + 4*(1)^3*(-2a)^1 + 6*(1)^2*(-2a)^2 + 4*(1)^1*(-2a)^3 + 1*(1)^0*(-2a)^4

Упростим это выражение:

(1 - 2a)^4 = 1 + 4*(-2a) + 6*(4a^2) + 4*(-8a^3) + 1*(16a^4)

(1 - 2a)^4 = 1 - 8a + 24a^2 - 32a^3 + 16a^4

Таким образом, представление двучлена (1 - 2a)^4 в виде многочлена будет:

(1 - 2a)^4 = 1 - 8a + 24a^2 - 32a^3 + 16a^4

Вот так, с использованием бинома Ньютона и треугольника Паскаля, мы успешно представили данные двучлены в виде многочленов.