Задача: Доказать, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3.
Шаг 1: Начнем с раскрытия кубов:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 2: Обратите внимание, что у нас есть сумма кубов: A^3 + B^3 + C^3 и сумма (A + B + C), которая умножается на квадратное выражение (A^2 - AB + B^2) и добавляется к C^3. Мы увидим, как это поможет нам доказать нашу конечную цель.
Шаг 3: Отдельно рассмотрим член C^3. Имеем:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 4: Поскольку сумма кубов равна 9, то их сумма делится на 3 без остатка. Мы также знаем, что C^3 делится на 3 без остатка (так как он является одним из слагаемых суммы). Таким образом, итоговая сумма (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) должна делиться на 3 без остатка.
Шаг 5: Рассмотрим выражение A + B + C. Если оно делится на 3 без остатка, то мы практически вышли к конечному доказательству нашей задачи. Однако, нам нужно еще показать, что (A^2 - AB + B^2) делится на 3.
Шаг 6: Рассмотрим выражение A^2 - AB + B^2. Поскольку мы предполагаем, что A + B + C делится на 3 без остатка, мы можем заменить его на -C (изначальное уравнение). Тогда:
(A + B + C)(A^2 - AB + B^2) = (-C)(A^2 - AB + B^2)
Шаг 7: Разложим (-C)(A^2 - AB + B^2):
(-C)(A^2 - AB + B^2) = -CA^2 + CAB - CB^2
Шаг 8: Заметим, что выражение -CA^2 + CАВ - CB^2 является одним из слагаемых исходной суммы A^3 + B^3 + C^3. Это означает, что оно делится на 3 без остатка. Следовательно, и (A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка.
Шаг 9: Таким образом, мы доказали, что и A + B + C, и (A^2 - AB + B^2) делятся на 3 без остатка. А их произведение (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) также будет делиться на 3 без остатка.
Шаг 10: Возвращаясь к исходному выражению, мы можем сказать, что abc делится на 3 без остатка, так как (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка, а abc является произведением трех переменных, каждая из которых делится на 3 без остатка.
Таким образом, мы доказали, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3 без остатка.
Задача: Доказать, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3.
Шаг 1: Начнем с раскрытия кубов:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 2: Обратите внимание, что у нас есть сумма кубов: A^3 + B^3 + C^3 и сумма (A + B + C), которая умножается на квадратное выражение (A^2 - AB + B^2) и добавляется к C^3. Мы увидим, как это поможет нам доказать нашу конечную цель.
Шаг 3: Отдельно рассмотрим член C^3. Имеем:
A^3 + B^3 + C^3 = (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) + C^3 = 9
Шаг 4: Поскольку сумма кубов равна 9, то их сумма делится на 3 без остатка. Мы также знаем, что C^3 делится на 3 без остатка (так как он является одним из слагаемых суммы). Таким образом, итоговая сумма (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) должна делиться на 3 без остатка.
Шаг 5: Рассмотрим выражение A + B + C. Если оно делится на 3 без остатка, то мы практически вышли к конечному доказательству нашей задачи. Однако, нам нужно еще показать, что (A^2 - AB + B^2) делится на 3.
Шаг 6: Рассмотрим выражение A^2 - AB + B^2. Поскольку мы предполагаем, что A + B + C делится на 3 без остатка, мы можем заменить его на -C (изначальное уравнение). Тогда:
(A + B + C)(A^2 - AB + B^2) = (-C)(A^2 - AB + B^2)
Шаг 7: Разложим (-C)(A^2 - AB + B^2):
(-C)(A^2 - AB + B^2) = -CA^2 + CAB - CB^2
Шаг 8: Заметим, что выражение -CA^2 + CАВ - CB^2 является одним из слагаемых исходной суммы A^3 + B^3 + C^3. Это означает, что оно делится на 3 без остатка. Следовательно, и (A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка.
Шаг 9: Таким образом, мы доказали, что и A + B + C, и (A^2 - AB + B^2) делятся на 3 без остатка. А их произведение (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) также будет делиться на 3 без остатка.
Шаг 10: Возвращаясь к исходному выражению, мы можем сказать, что abc делится на 3 без остатка, так как (A + B + C)(A^2 - AB + B^2) делится на 3 без остатка, а abc является произведением трех переменных, каждая из которых делится на 3 без остатка.
Таким образом, мы доказали, что если A^3 + B^3 + C^3 = 9, то abc делится на 3 без остатка.