Question

Решите тригонометрические уравнения: 1. 6sin²x - 7sinx - 5 = 0 2. 3sin²x + 10 cosx - 10 = 0 3. 2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 0 4. 3tg x - 5ctg x + 14 = 0 5. 10sin²x - sin2x = 8cos²x 6. 1 - 6cos²x = 2sin2x + cos2x

Answer 1

1. 6sin²x - 7sinx - 5 = 0

t = sinx: [-1;1]

$6t^2-7t-5=0;\ \ D=169;\ \ t_1=-0,5;\ \ t_2=\frac{5}{3}1.$

sinx=-0,5.

$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi*k;\ \ k:Z.$

2. 3sin²x + 10 cosx - 10 = 0

$3(1-cos^2x)+10cosx-10=0$

$3cos^2x-10cosx+7=0;\ \ cosx=t:\ [-1;1].$

$3t^2-10t+7=0;\ \ D=16;\ \ t_1=1;\ \ t_2=\frac{7}{3}1.$

cosx=1

$x=2\pi*k;\ \ k:Z.$

3. 2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 0 

Поделим данное однородное уравнение на квадрат косинуса и сделаем замену переменной: tgx=t

$2t^2+11t+14=0;\ \ D=9;\ \ t_1=-3,5;\ \ \ t_2=-2.$

tgx=-2     tgx=-3,5

Имеем две группы углов:

$-arctg2+\pi*k;\ \ \ \ -arctg3,5+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

4. 3tg x - 5ctg x + 14 = 0

Пусть tgx=t

$3t-\frac{5}{t}+14=0\ \ \ (t\neq0).$

$3t^2+14t-5=0;\ \ \ D=256;\ \ t_1=\frac{1}{3};\ \ t_2=-5.$

В ответе имеем две группы углов:

$-arctg5+\pi*k;\ \ \ \ \ arctg\frac{1}{3}+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

5. 10sin²x - sin2x = 8cos²x

$10sin^2x-2sinxcosx-8cos^2x=0.$

Аналогично задаче 4, сделаем замену переменной tgx=t после деления на квадрат косинуса и сокращения на 2:

$5t^2-t-4=0;\ \ \ D=81;\ \ t_1=1;\ \ \ t_2=-0,8.$

В ответе имеем две группы углов:

$-arctg0,8+\pi*k;\ \ \ \ \ \frac{\pi}{4}+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

6. 1 - 6cos²x = 2sin2x + cos2x

Применив основное тождество и формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

$sin^2x+cos^2x-6cos^2x-4sinxcosx-cos^2x+sin^2x=0;$

$2sin^2x-4sinxcosx-6cos^2x=0\ \ /2cos^2x;\ \ \ tgx=t.$

$t^2-2t-3=0;\ \ t_1=-1;\ \ \ t_2=3.$

В ответе имеем две группы углов:

$-\frac{\pi}{4}+\pi*k;\ \ \ \ \ arctg3+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$