Question

Проверить на условную и абсолютную сходимость

Answer 1

$1)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n(n+1)}{9^{n}}\\\\\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{(n+1)(n+2)}{9^{n+1}}\cdot \frac{9^{n}}{n(n+1)}=\frac{1}{9}$

$2)\; \; \sum \limits _{n+1}^{\infty }\, \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n+5}}\\\\\sum \limits _{n=1}^{\infty }\,|a_{n}|=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n+5}}\\\\a)\; \; \lim\limits_{n \to \infty}\, |a_n|=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{1}{\sqrt{n+5}}=0\\\\b)\; \; |a_1||a_2|...|a_{n}|...\\\\sxoditsya\; po\; priznaky\; Lejbnitca\\\\Priznak\; sravneniya:\; \; |a_{n}|=\frac{1}{\sqrt{n+5}}$

$\lim\limits _{n\to \infty }\frac{|a_{n}|}{b_{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n+5}}:\frac{1}{\sqrt{n}}=\lim\limiyts _{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}} =1\ne 0\; \; \Rightarrow$

Оба ряда расходятся. Поэтому нет абсолютной сходимости исходного ряда. Исходный ряд сходится условно .