Пусть у нас имеется множество таких пар. И рассмотрим две пары из этого множества: и .
Соответственно для этих двух пар должны быть выполнены основные условия:
Введём на этом множестве операции сложения двух пар и умножения их на некоторое действительное число :
Необходимо обеспечить выполнение всех 8 аксиом линейного пространства. а)Рассмотрим операцию сложения. 1)Свойство коммутативности(). Очевидно, это выполняется исходя из того, как определена операция сложения. 2)Свойство ассоциативности() Выполняется всегда. Чтобы убедиться, возьмите третью пару этого множества и произведите сложение по определению.
3)В линейном пространстве обязан существовать нуль-вектор, такой, что . Здесь под нулём я имел в виду не число 0, а элемент линейного пространства, обладающий такими свойствами. Существует ли нулевая пара чисел в нашем множестве? При каких а это будет возможно? Очевидно, для обычного числа справедливо . Поэтому Из этого равенства можно сразу записать, что Откуда Итак, нулевая пара в нашем множестве имеет вид А поскольку для каждой пары выполняется указанное в условии соотношение, то:
Тогда соотношение принимает вид
, то есть 4)Для любого вектора найдём в этом множестве противоположный, такой, что Отсюда Таким образом, на множестве ДЛЯ КАЖДОГО вектора существует и противоположный вектор, причём
Выполнение остальных аксиом здесь, в общем-то, достаточно очевидно, а именно Здесь полагаются действительными, а пары чисел - любые.
Справедливость этих аксиом следует из свойств операции сложения для обычных чисел.
Таки образом, установлено, что при наше множество - действительно является линейным пространством. Докажем, что при оно уже таковым не является. Для этого возьмите любую пару чисел . Теперь умножим вектор на число , . Тогда его координаты должны удовлетворять указанному в условии сотношению ни при каком а.
Следовательно, при указанное множество уже теряет свойства линейного пространства.
Соответственно для этих двух пар должны быть выполнены основные условия:
Введём на этом множестве операции сложения двух пар и умножения их на некоторое действительное число
Необходимо обеспечить выполнение всех 8 аксиом линейного пространства.
а)Рассмотрим операцию сложения.
1)Свойство коммутативности(
2)Свойство ассоциативности(
3)В линейном пространстве обязан существовать нуль-вектор, такой, что
Существует ли нулевая пара чисел в нашем множестве? При каких а это будет возможно?
Очевидно, для обычного числа
Из этого равенства можно сразу записать, что
Откуда
Итак, нулевая пара в нашем множестве имеет вид
А поскольку для каждой пары выполняется указанное в условии соотношение, то:
Тогда соотношение принимает вид
4)Для любого вектора найдём в этом множестве противоположный, такой, что
Отсюда
Таким образом, на множестве ДЛЯ КАЖДОГО вектора существует и противоположный вектор, причём
Выполнение остальных аксиом здесь, в общем-то, достаточно очевидно, а именно
Здесь
Справедливость этих аксиом следует из свойств операции сложения для обычных чисел.
Таки образом, установлено, что при
Докажем, что при
Следовательно, при
ответ: