Question

Найти интегралл

Answer 1

Обозначим искомый интеграл:

$I=\int\limits \sqrt[3]{3+4\sin x}\cos x dx$

Внесем cosx под знак дифференциала:

$I=\int\limits \sqrt[3]{3+4\sin x} d(\sin x)$

Под знаком дифференциала домножим и разделим на 4, одну константу сразу же вынесем за знак интеграла:

$I=\dfrac{1}{4}\int\limits \sqrt[3]{3+4\sin x} d(4\sin x)$

Под знаком дифференциала добавим 3:

$I=\dfrac{1}{4}\int\limits \sqrt[3]{3+4\sin x} d(3+4\sin x)$

Перепишем корень в виде степени:

$I=\dfrac{1}{4}\int\limits (3+4\sin x)^{\frac{1}{3}}d(3+4\sin x)$

Найдем интеграл степенной функции:

$I=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(3+4\sin x)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C\\I=\dfrac{3}{16}(3+4\sin x)\sqrt[3]{3+4\sin x}+C$