Question

Виразіть через сos4a: sin8a+cos8a
​

Answer 1

Формула двойного угла гласит:
cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Мы можем использовать эту формулу, чтобы выразить cos(4a) через cos и sin. Разложим cos(4a) соответствующим образом:
cos(4a) = cos(2a + 2a)

Теперь применим формулу двойного угла и заменим cos(2a) и sin(2a):
cos(4a) = cos^2(2a) - sin^2(2a)

Используем формулы двойного угла, чтобы выразить cos^2(2a) и sin^2(2a):
cos^2(2a) = cos^2(a + a) = (cos^2(a) - sin^2(a))^2
sin^2(2a) = sin^2(a + a) = (2sin(a)cos(a))^2 = 4sin^2(a)cos^2(a)

Теперь, если мы заменим cos^2(2a) и sin^2(2a) в исходном выражении:
sin^8(a) + cos^8(a) = (sin^2(a))^4 + (cos^2(a))^4
= (sin^2(a))^2 * (sin^2(a))^2 + (cos^2(a))^2 * (cos^2(a))^2

Заметим, что (sin^2(a))^2 = sin^4(a) и (cos^2(a))^2 = cos^4(a):

(sin^2(a))^2 * (sin^2(a))^2 + (cos^2(a))^2 * (cos^2(a))^2
= sin^4(a) * sin^4(a) + cos^4(a) * cos^4(a)
= (sin^4(a) + cos^4(a))^2

Таким образом, выражение sin^8(a) + cos^8(a) равно (sin^4(a) + cos^4(a))^2.