Для решения этой задачи мы должны найти точки пересечения двух данных уравнений. Для начала, давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.
Уравнение 1: xy + x^2 = 6
Уравнение 2: xy - y^2 = 7
Чтобы найти общие точки графиков этих уравнений, мы должны найти значения x и y, при которых оба уравнения будут выполняться одновременно. Другими словами, мы ищем значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом:
Шаг 1: Решение первого уравнения (xy + x^2 = 6)
Мы можем начать с преобразования этого уравнения в более удобную форму для дальнейшего решения. Давайте начнем с переноса всех терминов на одну сторону:
x^2 + xy - 6 = 0
Шаг 2: Решение второго уравнения (xy - y^2 = 7)
Точно так же, начнем с переноса всех терминов на одну сторону:
xy - y^2 - 7 = 0
Шаг 3: Находим общие точки
Чтобы найти общие точки решениями этих двух уравнений одновременно, мы сравниваем их коэффициенты и используем методы решения уравнений вида ax^2 + bx + c = 0.
Сравнивая коэффициенты в каждом уравнении, мы видим, что а = 1 в обоих уравнениях, b = 1 в первом уравнении и b = -1 во втором уравнении, а c = -6 в первом уравнении и c = -7 во втором уравнении.
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь мы можем использовать метод решения квадратного уравнения для каждого уравнения. Начнем с первого уравнения:
x^2 + xy - 6 = 0
Мы используем формулу дискриминанта для определения количества решений квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.
В нашем случае, D = (y^2 - 4)(36 - 4y).
Dискриминант должен быть неотрицательным числом, чтобы у уравнения были реальные корни. Найдем значения y, при которых D ≥ 0.
(y^2 - 4)(36 - 4y) ≥ 0
При проведении анализа знаков, мы видим, что D ≥ 0, когда y принимает значения из интервала (-∞, 2] ∪ [9, +∞).
Теперь давайте решим этот же процесс для второго уравнения:
Dискриминант должен быть неотрицательным числом, чтобы у уравнения были реальные корни. Найдем значения y, при которых D ≥ 0.
(y - 1)(y + 7) ≥ 0
При проведении анализа знаков, мы видим, что D ≥ 0, когда y принимает значения из интервала (-∞, -7] ∪ [1, +∞).
Шаг 5: Найдем общие точки
Теперь сравним значения y, при которых D ≥ 0 в обоих уравнениях.
Из анализа знаков, мы видим, что общий интервал для y - это [1, 2]. Это значит, что уравнения a и b имеют общие точки при значениях y из этого интервала.
Теперь, чтобы найти значения x, мы можем подставить найденные значения y в одно из уравнений и решить его относительно x. Давайте возьмем первое уравнение:
x^2 + xy - 6 = 0
Подставим значения y = 1 и y = 2, и решим уравнение относительно x.
При y = 1, мы получим:
x^2 + x - 6 = 0
Факторизуем это уравнение, получим:
(x - 2)(x + 3) = 0
Отсюда, получаем два значения x: x = 2 и x = -3.
При y = 2, мы получим:
x^2 + 2x - 6 = 0
Факторизуем это уравнение, получим:
(x - 1)(x + 6) = 0
Отсюда, получаем два значения x: x = 1 и x = -6.
Таким образом, мы нашли 4 общие точки у графиков этих двух уравнений.
Уравнение 1: xy + x^2 = 6
Уравнение 2: xy - y^2 = 7
Чтобы найти общие точки графиков этих уравнений, мы должны найти значения x и y, при которых оба уравнения будут выполняться одновременно. Другими словами, мы ищем значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом:
Шаг 1: Решение первого уравнения (xy + x^2 = 6)
Мы можем начать с преобразования этого уравнения в более удобную форму для дальнейшего решения. Давайте начнем с переноса всех терминов на одну сторону:
x^2 + xy - 6 = 0
Шаг 2: Решение второго уравнения (xy - y^2 = 7)
Точно так же, начнем с переноса всех терминов на одну сторону:
xy - y^2 - 7 = 0
Шаг 3: Находим общие точки
Чтобы найти общие точки решениями этих двух уравнений одновременно, мы сравниваем их коэффициенты и используем методы решения уравнений вида ax^2 + bx + c = 0.
Сравнивая коэффициенты в каждом уравнении, мы видим, что а = 1 в обоих уравнениях, b = 1 в первом уравнении и b = -1 во втором уравнении, а c = -6 в первом уравнении и c = -7 во втором уравнении.
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь мы можем использовать метод решения квадратного уравнения для каждого уравнения. Начнем с первого уравнения:
x^2 + xy - 6 = 0
Мы используем формулу дискриминанта для определения количества решений квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.
В нашем случае, D = (y^2 - 4)(36 - 4y).
Dискриминант должен быть неотрицательным числом, чтобы у уравнения были реальные корни. Найдем значения y, при которых D ≥ 0.
(y^2 - 4)(36 - 4y) ≥ 0
При проведении анализа знаков, мы видим, что D ≥ 0, когда y принимает значения из интервала (-∞, 2] ∪ [9, +∞).
Теперь давайте решим этот же процесс для второго уравнения:
xy - y^2 - 7 = 0
Используем формулу дискриминанта, получим D = (y - 1)(y + 7).
Dискриминант должен быть неотрицательным числом, чтобы у уравнения были реальные корни. Найдем значения y, при которых D ≥ 0.
(y - 1)(y + 7) ≥ 0
При проведении анализа знаков, мы видим, что D ≥ 0, когда y принимает значения из интервала (-∞, -7] ∪ [1, +∞).
Шаг 5: Найдем общие точки
Теперь сравним значения y, при которых D ≥ 0 в обоих уравнениях.
Из анализа знаков, мы видим, что общий интервал для y - это [1, 2]. Это значит, что уравнения a и b имеют общие точки при значениях y из этого интервала.
Теперь, чтобы найти значения x, мы можем подставить найденные значения y в одно из уравнений и решить его относительно x. Давайте возьмем первое уравнение:
x^2 + xy - 6 = 0
Подставим значения y = 1 и y = 2, и решим уравнение относительно x.
При y = 1, мы получим:
x^2 + x - 6 = 0
Факторизуем это уравнение, получим:
(x - 2)(x + 3) = 0
Отсюда, получаем два значения x: x = 2 и x = -3.
При y = 2, мы получим:
x^2 + 2x - 6 = 0
Факторизуем это уравнение, получим:
(x - 1)(x + 6) = 0
Отсюда, получаем два значения x: x = 1 и x = -6.
Таким образом, мы нашли 4 общие точки у графиков этих двух уравнений.
Ответ: 4) 4 общие точки.