x^2+2bx-(b-6)>0
график парабола, ветви вверх, поэтому >0 при любом х случится при условии расположения параболы целиком выше оси абсцисс (ОХ), значит нет пересечений о осью ОХ, значит нет нулей у функции, т.е.нет корней у квадратного уравнения, а это, в свою очередь, бывает, когда дискриминант квадратного уравнения <0, решаем:
х2+2bx -(b-6) = 0
D=4b2 +4(b-6) = 4b2+4b-24
4b2+4b-24<0 |:4
решаем неравенство:
b2+b-6<0
b2+b-6=0
D=1+24=25
b(1) = (-1+5)/2 = 2
b(2) = (-1-5) / 2 = -3
-3 2 x
oo>
D<0 при b∈(-3; 2) ⇒ при b∈(-3; 2) y>0
x = k/3; k € Z
Объяснение:
Область определения
cos(П/2 - 2Пх) ≠ 0
П/2 - 2Пх ≠ П/2 + Пm; m € Z
x ≠ - m/2; m € Z
Формулы приведения.
sin(П - 7Пх) = sin(7Пх)
sin(П/2 + 7Пх) = cos(7Пх)
sin(П - 2Пх) = sin(2Пх)
cos(П/2 - 2Пх) = sin(2Пх)
Подставляем.
sin^2(7Пх) + cos^2(7Пх) = sin(2Пх) / sin(2Пх) + sin(3Пx)*cos(Пх/2)
1 = 1 + sin(3Пх)*cos(Пх/2)
sin(3Пх)*cos(Пх/2) = 0
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) sin(3Пх) = 0
3Пх = П*k; k € Z
x1 = k/3; k € Z - это решение.
2) cos(Пх/2) = 0
Пх/2 = П/2 + П*n; n € Z
x2 = 1 + 2n; n € Z
x ≠ - m/2; m € Z
Но при любом n можно подобрать такое m, что будет
x2 = 1 + 2n = - m/2
Поэтому никакое х2 не подходит по области определения.