Question

Решить показательные уравнения
( в ответе записать корень или произведение корней, если их несколько)
(найти количество отрицательных корней уравнения)

Answer 1

3*4^x - 3^(x + 1/2) = 2^2x

(a^m)^n = a^mn

a^0 = 1 (a≠0)

3*4^x - 3^(x + 1/2) = 4^x

2*4^x = 3^(x + 1/2)

2 = 4^1/2

4^(x + 1/2) = 3^(x + 1/2)

(3/4)^(x + 1/2) = 1

x + 1/2 = 0

x = -1/2

26*5^(√(x^2 - √5*x)) = 25^(√(x^2 - √5*x) + 1/2) + 5

26*5^(√(x^2 - √5*x)) = 5^2(√(x^2 - √5*x) + 1/2) + 5

26*5^(√(x^2 - √5*x)) = 5*5^2(√(x^2 - √5*x)) + 5

5^(√(x^2 - √5*x)) = t > 0

26t =  5t²  + 5

5t² - 26t + 5 = 0

D = 26^2 - 4*5*5 = 676 - 100 = 576 = 24^2

t12 = (26 +- 24)/10 = 5    1/5

1. t1 = 5

5^(√(x^2 - √5*x)) = 5

√(x^2 - √5*x) = 1

x^2 - √5*x = 1

x^2 - √5*x - 1 = 0

D = √5² + 4 = 9

x12 = (√5 +- 3)/2

x1 = (√5 + 3)/2 > 0

x2 = (√5 - 3)/2 < 0 (√5 < 3) да корень по условию

2. t1 = 1/5

5^(√(x^2 - √5*x)) = 1/5

√(x^2 - √5*x) = -1

корень четной степени на поле действительных чисел не может быть меньше 0

решений действительных нет

ответ один корень (√5 - 3)/2

Answer 2

1)

$3 \cdot 4^x - 3^{x+ \frac 1 2} = 2^{2x} \\3 \cdot 4^x - \sqrt{3} \cdot 3^x = 4^{x} \\4^x(3 - 1) = \sqrt{3} \cdot 3^x \\2 \cdot 4^x = \sqrt{3} \cdot 3^x\\\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3^x}{4^x}\\\frac{2}{\sqrt{3}} = (\frac{3}{4})^x\\$

Возьмём логарифм по основанию 3/4 от обеих частей.

$\log_{\frac 3 4}\frac{2}{\sqrt{3}} = x\\x = -\frac{1}{2}$

2)

$26 \cdot 5^{\sqrt{x^2 - \sqrt{5}x}} = 25^{{\sqrt{x^2 - \sqrt{5}x} + \frac{1}{2}}} + 5$

Заменим $5^\sqrt{x^2 - \sqrt{5}x}$ на t.

$26t = 5t^2 + 5\\5t^2 - 26t + 5 = 0\\D = 576 = 24^2\\t = \frac{26 \pm 24}{10}\\a) t = \frac{1}{5}\\b) t = 5$

а)

$5^\sqrt{x(x-\sqrt{5})} = \frac{1}{5}\\\sqrt{x(x-\sqrt{5})} = -1$

Решений нет.

б)

$\sqrt{x(x-\sqrt{5})} = 1$

$x(x-\sqrt{5}) = 1\\$

Решив квадратное уравнение, получаем:

$x = \frac{\sqrt{5} \pm 3}{2}$

Так как √5 < 3, то один из корней меньше нуля.

ответ: 1.