Question

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования найдите производные функций а) 5/х-х 3+корень из х + 3
б) (x²-3х-2)корень из х
в) 1 - х²/ 1 - х³

Answer 1

а) Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций.

Для начала разделим функцию на несколько слагаемых:
f(x) = 5/x - x^3 + sqrt(x) + 3

1. Найдем производную первого слагаемого 5/x:
f1(x) = 5/x
f1'(x) = (5)' * 1/x - 5 * (x^1)' / x^2
f1'(x) = 0 - 5/(x^2)
f1'(x) = -5/x^2

2. Найдем производную второго слагаемого -x^3:
f2(x) = -x^3
f2'(x) = (-x^3)' = -3x^(3-1) = -3x^2

3. Найдем производную третьего слагаемого sqrt(x):
f3(x) = sqrt(x)
f3'(x) = (sqrt(x))' = (x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2)
f3'(x) = 1/(2sqrt(x))

4. Найдем производную четвертого слагаемого 3:
f4(x) = 3
f4'(x) = 0 (производная константы равна нулю)

Теперь найдем производную исходной функции f(x):
f'(x) = f1'(x) + f2'(x) + f3'(x) + f4'(x)
f'(x) = -5/x^2 - 3x^2 + 1/(2sqrt(x)) + 0
f'(x) = -5/x^2 - 3x^2 + 1/(2sqrt(x))

б) Для нахождения производной второй функции также будем использовать правила дифференцирования.

f(x) = (x^2 - 3x - 2)sqrt(x)

1. Найдем производную квадратного корня sqrt(x):
f1(x) = sqrt(x)
f1'(x) = 1/(2sqrt(x))

2. Найдем производную слагаемого в скобках x^2 - 3x - 2:
f2(x) = x^2 - 3x - 2
f2'(x) = (x^2)' - (3x)' - (2)'
f2'(x) = 2x - 3 - 0
f2'(x) = 2x - 3

Теперь найдем производную исходной функции f(x):
f'(x) = f2'(x)f1(x) + f2(x)f1'(x)
f'(x) = (2x - 3)sqrt(x) + (x^2 - 3x - 2)(1/(2sqrt(x)))

в) Для нахождения производной третьей функции также будем использовать правила дифференцирования.

f(x) = (1 - x^2)/(1 - x^3)

1. Найдем производную числителя 1 - x^2:
f1(x) = 1 - x^2
f1'(x) = (1)' - (x^2)'
f1'(x) = 0 - 2x
f1'(x) = -2x

2. Найдем производную знаменателя 1 - x^3:
f2(x) = 1 - x^3
f2'(x) = (1)' - (x^3)'
f2'(x) = 0 - 3x^2
f2'(x) = -3x^2

Теперь найдем производную исходной функции f(x) с помощью правила дифференцирования частного функций:

f'(x) = (f1'(x)f2(x) - f1(x)f2'(x))/(f2(x))^2
f'(x) = ((-2x)(1 - x^3) - (1 - x^2)(-3x^2))/((1 - x^3))^2
f'(x) = (-2x + 2x^4 + 3x^4 - 3x^6)/(1 - 2x^3 + x^6)^2
f'(x) = (5x^4 - 2x + 3x^4 - 3x^6)/(1 - 2x^3 + x^6)^2
f'(x) = (8x^4 - 2x - 3x^6)/(1 - 2x^3 + x^6)^2

Таким образом, производные функций найдены согласно указанным формулам и правилам дифференцирования.