Question

Розкладіть на множники тричлен х^4-5х^2-36​

Answer 1

x⁴ - 5x² - 36           | x² = y

y² - 5y - 36 = 0       D = b²-4ac = 25+144 = 169

y₁₂ = (-b±√D)/2a

y₁ = (5+13):2 = 9

y₂ = (5-13):2 = -4

y² - 5y - 36 = (y - 9)(y + 4)

x⁴ - 5x² - 36 = (x² - 9)(x² + 4) = (x - 3)(x + 3)(x² + 4)

Answer 2

Для того чтобы разложить на множители выражение вида $ax^{2n} + bx^{n} + c$, где $n \in \mathbb{N}, \ a, \ b, \ c$ — числа, достаточно решить квадратное уравнение $at^{2} + bt + c = 0$, где $x^{n} = t$, и применить формулу разложения: $a(t - t_{1})(t - t_{2}),$ где $t_{1}$ и $t_{2}$  — корни данного квадратного уравнения, после чего нужно сделать обратную замену.

Итак, имеем биквадратный трехчлен $x^{4} - 5x^{2} - 36$. Сделаем подходящую замену: $x^{2} = t.$ Получили квадратный трехчлен $t^{2} - 5t - 36$.

Решим уравнение $t^{2} - 5t - 36 = 0$ при теоремы Виета:

$\left\{\begin{array}{ccc}t_{1} + t_{2} = 5, \ \ \\t_{1} \cdot t_{2} = -36\\\end{array}\right$

Получили корни: $t_{1} = 9; \ t_{2}= -4.$

Подставим полученные корни в формулу: $(t + 4)(t - 9).$ Сделаем обратную замену: $(x^{2} + 4)(x^{2} - 9).$ Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ и получаем окончательное разложение данного биквадратного трехчлена: $(x^{2} + 4)(x - 3)(x + 3).$

Воспользуемся методом группирования (группировки):

$x^{4} - 5x^{2} - 36 = x^{4} + 4x^{2} - 9x^{2} - 4 \cdot 9 = x^{2}(x^{2} + 4) - 9(x^{2} + 4) =\\= (x^{2} + 4)(x^{2} - 9) = (x^{2} + 4)(x - 3)(x + 3)$

ответ: $(x^{2} + 4)(x - 3)(x + 3).$