Question

Построить график y(x)= (x^3 -1)/(x^2 -1)

Answer 1

$f(x) = \dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

$1) \ D(f): \ x^{2} - 1 \neq 0; \ x^{2} \neq 1; \ x \neq \pm 1$

Следовательно, $x \in (- \infty; -1) \cup (-1; \ 1) \cup (1; +\infty)$

$2) \ f(-x) = \dfrac{(-x)^{3} - 1}{(-x)^{2} - 1} = \dfrac{-x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = -\dfrac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} \neq f(x) \neq -f(x)$, значит, функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.

$3)$ Если $x = 0$, то $y = 1$, значит (0; 1) — точка пересечения с осью ординат. Если $y = 0$, то есть  $\dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} -1} = 0$, то $x \notin \mathbb{R}$. Таким образом, функция не имеет точек пересечения с осью абсцисс.

Значит, (0; 1) — единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

$4)$ Поскольку $x = 1$ и $x = -1$ — точки разрыва функции и $\underset{x\rightarrow -1}{\lim} \dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = \infty$ и $\underset{x\rightarrow 1}{\lim} \dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = \left(\dfrac{0}{0} \right) = \underset{x\rightarrow 1}{\lim}\dfrac{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \underset{x\rightarrow 1}{\lim} \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = \dfrac{3}{2} \neq \infty$, то $x=-1$ — вертикальная асимптота.

Если $x\rightarrow -1, \ x < -1$, то $y\rightarrow -\infty$; если $x\rightarrow -1, \ x -1$, то $y\rightarrow +\infty$.

Найдем наклонные асимптоты $(y = kx + b)$:

$k=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim} } \dfrac{f(x)}{x}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}}\dfrac{\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}}{x}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}} \dfrac{x^{3}-1}{x(x^{2} - 1)}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)=\\=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim} }\dfrac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x(x-1)(x+1)}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim} } \dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim} }\dfrac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right)}{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=$

$= \underset{x\rightarrow \infty}{\lim} } \dfrac{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} }{1 + \dfrac{1}{x} } = \dfrac{1 + 0 + 0}{1 + 0} = 1$

$b = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim} } (f(x) - kx) = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim} } \left(\dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} - x \right) = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim} } \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{1}{\infty} = 0$

Следовательно, $y = x$ — наклонная асимптота.

$5) \ f'(x) = \left(\dfrac{x^{3} - 1}{x^{2} -1} \right)' = \dfrac{3x^{2}(x^{2} - 1) - 2x(x^{3} - 1)}{(x^{2} - 1)^{2}} = \dfrac{x(3x(x^{2} - 1) - 2(x^{3} - 1))}{(x^{2} - 1)^{2}} =\\= \dfrac{x(3x^{3} - 3x - 2x^{3} + 2)}{(x^{2} - 1)^{2}} = \dfrac{x(x^{3} - 4x + x + 2)}{(x^{2} - 1)^{2}} = \dfrac{x(x(x - 2)(x + 2) + x + 2)}{(x^{2} - 1)^{2}} =\\= \dfrac{x(x + 2)(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2}(x+1)^{2}} = \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}}$

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: $\dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}} = 0,$ откуда $x = 0$ и $x = -2$.

Заполним таблицу №1 (см. вложение).

$7) \ f''(x) = \left(\dfrac{x^{2} + 2x}{(x + 1)^{2}} \right)' = \dfrac{(2x + 2)(x + 1)^{2} - x(2x + 2)(x + 2) }{((x + 1)^{2})^{2}} =\\= \dfrac{(2x + 2)((x + 1)^{2} - x(x + 2))}{(x + 1)^{4}} = \dfrac{2(x + 1)(x^{2} + 2x + 1 - x^{2} - 2x)}{(x + 1)^{4}} = \dfrac{2}{(x + 1)^{3}}$

Если $f''(x) = 0$, то есть $\dfrac{2}{(x + 1)^{3}} = 0$, то $x \notin \mathbb{R}$, значит, нет точек перегиба.

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблицу №2.

$8)$ График функции изображен на рисунке (см. вложение).

$9)$ Из графика делаем вывод:

$E(f): \ y \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$