Question

Задачи с логарифмами (1 а б в г)

Answer 1

1)

$\displaystyle log_{(x+1)}(2x^2+5x-3)=2\\\\ODZ:x+10; x+1\neq 1; 2x^2+5x-30\\\\ODZ: x1/2\\\\\frac{1}{2}log_{(x+1)}(2x^2+5x-3)=1$

решаем методом рационализации

$\displaystyle (x+1-1)*((2x^2+5x-3)^{1/2}-(x+1))=0\\\\x*(\sqrt{2x^2+5x-3} -(x+1))=0\\\\x=0\\\\\sqrt{2x^2+5x-3}=x+1\\\\2x^2+5x-3=x^2+2x+1\\\\x^2+3x-4=0\\\\D=9+16=25\\\\ x_1=-4; x_2=1$

ответ : х=1

2)

$\displaystyle lg5-1=lg(x-3)-\frac{1}{2}lg(3x+1)\\\\ODZ: x-30; 3x+10\\\\x3\\\\lg5-lg10=lg\frac{x-3}{\sqrt{3x+1}}\\\\lg\frac{1}{2}=lg\frac{x-3}{\sqrt{3x+1}}\\\\2x-6=\sqrt{3x+1}\\\\4x^2-24x+36=3x+1\\\\4x^2-27x+35=0\\\\D=729-560=169\\\\x_1=5; x_2=1.75$

ответ : х= 5

3)

$\displaystyle log_2^2(4x)+log_2^2(2x)=1\\\\ODZ: x0\\\\(log_24+log_2x)^2+(log_22+log_2x)^2=1\\\\(2+log_2x)^2+(1+log_2x)^2=1\\\\4+4log_2x+log_2^2x+1+2log_2x+log_2^2x=1\\\\2log_2^2+6log_2x+4=0\\\\log_2x=-1; log_2x=-2\\\\x=1/2; x=1/4$

4)

$\displaystyle log_6(5+6^{-x})=10^{lg(x+1)}\\\\log_6(5+6^{-x})=(x+1)\\\\5+6^{-x}=6^{x+1}\\\\6^x=t\\\\5+\frac{1}{t}=6*t\\\\6t^2-5t-1=0\\\\t_1=1; t_2=-1/6\\\\6^x=1; x=0\\\\6^x\neq -1/6$