Попробуем найти "шаблоны" расстановок цифр, по которым потом можно будет восстановить любое число, подходящее под определение "хорошего". Затем, исходя из них, посчитаем и количество.
Пусть X = от 1 до 9; и Y = от 1 до 9. При этом X не = Y в один и тот же момент. (то есть одни не могут быть равны одному и тому же числу)
Самый простой вариант - все числа повторяются ровно или более 2 раз.
Попытаемся внести новое число в шаблон. Y - не подходит, так как Y должен повторяться ровно или более двух раз.
YYXXX - подходит. При этом YYYXX бессмысленно, так как охватывает тот же диапазон. Далее двигаться также бесполезно, ибо X не может быть только один, а равносилен . А вот про то, что положения у Y среди X может быть разный, забывать не стоит. Так что стоит учесть все возможные его расстановки.
Тогда количество шаблонов можно будет вычислить как кол-во перестановок Y в X плюс шаблон .
Формулы комбинаторики не помню (2 к 5 тра-та-та) так что буду решать "на живую": с = (4+3+2+1) = 10 - кол-во перестановок 10+1 = 11 - с учетом шаблона .
Теперь о числах. По сути, их всего два. Так как меняются одни в шаблоне одновременно (меняется значение X, то меняются и все X в шаблоне). Так что можно рассматривать это как число XY, но не простое. Как я говорил выше, X не может = Y. И нулями числа быть не могут. Посчитаем количество подстановок цифр вместо X и Y.
L = 9*8 + 8 = 10*8 = 80 (для каждого из 9 X соответствует 8 значений Y (без совпадения), и остается ещё одно значение Y, рассматривая которое, мы приходим к выводу, что для него также есть 8 значений X)
И каждую из этих 80 комбинаций XY можно подставить в 11 шаблонов, что даст возможность воссоздать любое "хорошее" пятизначное число.
Начнем с того, что выражение x²+y²≥0 при любых x и y, значит отрицательные значения a мы не рассматриваем.
Первое уравнение системы: x²+y²=a это уравнение окружности с центром в начале координат. Значение a задает радиус окружности.
Второе уравнение системы: xy=1 это гипербола y=1/x, лежащая в 1 и 3 координатных четвертях. Самые близкие к началу координат точки, принадлежащие этому графику - (1;1) и (-1;-1)
Рассмотрим три случая: 1) a таково, что окружность проходит через точки (-1;-1) и (1;1), следовательно система имеет 2 решения. Найдем a. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами равными 1, гипотенуза=радиус=√(1²+1²)=√2 ⇒ a=√2²=2 При a=2 система имеет 2 решения
2) а таково, что окружность не пересекает гиперболу y=1/x. это произойдет в том случае, если радиус меньше двух. При a∈[0;2) система не имеет решений
3) а таково, что окружность пересекает гиперболу в 4 точках. это произойдет, если радиус больше двух. При a∈(2;+∞) система имеет 4 решения
Графики для каждого случая приложены для наглядности.
Пусть X = от 1 до 9; и Y = от 1 до 9. При этом X не = Y в один и тот же момент. (то есть одни не могут быть равны одному и тому же числу)
Самый простой вариант - все числа повторяются ровно или более 2 раз.
Попытаемся внести новое число в шаблон.
Y - не подходит, так как Y должен повторяться ровно или более двух раз.
YYXXX - подходит. При этом YYYXX бессмысленно, так как охватывает тот же диапазон. Далее двигаться также бесполезно, ибо X не может быть только один, а равносилен .
А вот про то, что положения у Y среди X может быть разный, забывать не стоит. Так что стоит учесть все возможные его расстановки.
Тогда количество шаблонов можно будет вычислить как кол-во перестановок Y в X плюс шаблон .
Формулы комбинаторики не помню (2 к 5 тра-та-та) так что буду решать "на живую": с = (4+3+2+1) = 10 - кол-во перестановок
10+1 = 11 - с учетом шаблона .
Теперь о числах. По сути, их всего два. Так как меняются одни в шаблоне одновременно (меняется значение X, то меняются и все X в шаблоне). Так что можно рассматривать это как число XY, но не простое. Как я говорил выше, X не может = Y. И нулями числа быть не могут. Посчитаем количество подстановок цифр вместо X и Y.
L = 9*8 + 8 = 10*8 = 80 (для каждого из 9 X соответствует 8 значений Y (без совпадения), и остается ещё одно значение Y, рассматривая которое, мы приходим к выводу, что для него также есть 8 значений X)
И каждую из этих 80 комбинаций XY можно подставить в 11 шаблонов, что даст возможность воссоздать любое "хорошее" пятизначное число.
80*11 = 880 - ответ