Question

Найдите площадь фигуры , ограниченной графиком функции y=sinx, отрезком [0;пи] оси Ох и прямой, проходящей через точку (0;0) и (пи/2;1)
Нарисуйте график. Хотя бы примерно, решать не обязательно

Answer 1

$y=sinx\; ,\; \; 0\leq x\leq \pi$

Составим уравнение прямой , проходящей через точки (0,0) и (П/2,1):

$\dfrac{x-0}{\frac{\pi}{2}-0}=\dfrac{y-0}{1-0}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; y=\dfrac{2}{\pi }\, x$

Точки пересечения графиков:  (0,0)  и (П/2,1) .

Площадь области, ограниченной заданными линиями:

$S=\int\limits^{\pi/2}_0\, (sinx-\frac{2}{\pi }\, x)\, dx=\Big(-cosx-\frac{2}{\pi }\cdot \frac{x^2}{2}\Big)\Big |_0^{\pi /2}=\\\\=-cos\frac{\pi}{2}-\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi ^2}{2\cdot 4}-\Big(-cos0-\frac{2}{\pi }\cdot 0\Big)=-0-\frac{\pi }{4}+1=1-\frac{\pi}{4}$