Question

с 3 уравнениями по тригонометрии(7 вариант

Answer 1

1.

$\frac{\pi(x+28)}{16}=(-1)^{k}(-\frac{\pi }{4})+\pi k, k \in Z\\ \\ \pi(x+28)=(-1)^{k+1}4\pi +16\pi k, k \in Z\\ \\ x+28=(-1)^{k+1}4 +16 k, k \in Z\\ \\ x=(-1)^{k+1}4-28 +16 k, k \in Z\\ \\ k=3\\ \\ x=4-28+48=24$

наименьший положительный х=24

2.

$6\cdot(1-sin^{2}\frac{\pi x}{9} )+\sqrt{3} sin\frac{\pi x}{9} =0$

Квадратное уравнение относительно синуса

6t²-√3·t-6=0

D=3+144=147

√D=√(3·49)=7·√3

t₁=-√3/2;   t₂=2√3/3 > 1

$sin\frac{\pi x}{9} =-\frac{\sqrt{3} }{2} \\ \\ \frac{\pi x}{9} =(-1)^{k}\cdot (-\frac{\pi }{3}) +\pi k, k \in Z\\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot3+9k, k \in Z$

$k=0\\ \\ x=-3+9\cdot0=-3$

наибольший отрицательный

4.

Так как

$1=sin^2x+cos^2x\\ \\ 3=3sin^2x+3cos^2x$

уравнение имеет вид:

2cos²x+6√3sinx·cosx+3sin²x+3cos²x=0

3sin²x+6√3sinx·cosx+5cos²x=0

Это однородное тригонометрическое уравнение.

Делим на cos²x≠0

3tg²x+6√3tgx+5=0

D=(6√3)²-4·3·5=108-60=48

√D=4√3

tgx=-5√3/3   или   tgx=-√3/3

x=arctg(-5√3/3) +πk, k∈Z   или   x=arctg(-√3/3)+πn, n∈Z

Функция y=arctgx - монотонно  возрастающая на (-∞;+∞)

-(5√3/3) < (-√3/3)⇒arctg(-5√3/3) < arctg(-√3/3)

Наибольший отрицательный

n=0

x=atctg(-√3/3)=-30°