Для того чтобы определить, сколько целых чисел входит в область определения функции f(x), нужно рассмотреть ограничения на значении переменной x, при которых функция остается определенной.
Так как в функции присутствует выражение под знаком корня, необходимо проверить, чтобы это выражение было неотрицательным. Для этого рассмотрим неравенство:
2 + x - x^2 + 4 - x ≥ 0
Сначала объединим все подобные члены:
(2 + 4) + (x - x^2 - x) ≥ 0
6 - x^2 ≥ 0
Для решения этого неравенства, мы можем привести его к виду полного квадрата. Для этого нужно добавить и вычесть одну и ту же константу внутри скобки:
6 - x^2 + 1 - 1 ≥ 0
(1 - x^2) + 5 ≥ 0
Теперь проведем факторизацию:
(1 + x)(1 - x) + 5 ≥ 0
Таким образом, исходное неравенство преобразуется к виду:
(x + 1)(x - 1) + 5 ≥ 0
Теперь можно составить таблицу знаков и найти значения переменной x, при которых неравенство выполнено:
Исходя из таблицы знаков, неравенство (x + 1)(x - 1) + 5 ≥ 0 выполнено для всех значений x, кроме -1 и 1. Это означает, что функция f(x) определена для всех значений x, кроме -1 и 1.
Однако, дополнительно нужно проверить, не являются ли -1 и 1 полюсами функции, т.е. значениями x, при которых знаменатель функции равен нулю. В данном случае, знаменатель функции равен x - 1, и следовательно, x = 1 является полюсом функции.
Таким образом, область определения функции f(x) равна множеству всех действительных чисел, кроме x = -1 и x = 1. В этой области определения функции f(x) будут находиться целые числа, если и только если в этой области будут находиться целые значения переменной x. Но так как любое целое число может входить в область определения функции, аналитически определить количество целых чисел в этой области невозможно.
Так как в функции присутствует выражение под знаком корня, необходимо проверить, чтобы это выражение было неотрицательным. Для этого рассмотрим неравенство:
2 + x - x^2 + 4 - x ≥ 0
Сначала объединим все подобные члены:
(2 + 4) + (x - x^2 - x) ≥ 0
6 - x^2 ≥ 0
Для решения этого неравенства, мы можем привести его к виду полного квадрата. Для этого нужно добавить и вычесть одну и ту же константу внутри скобки:
6 - x^2 + 1 - 1 ≥ 0
(1 - x^2) + 5 ≥ 0
Теперь проведем факторизацию:
(1 + x)(1 - x) + 5 ≥ 0
Таким образом, исходное неравенство преобразуется к виду:
(x + 1)(x - 1) + 5 ≥ 0
Теперь можно составить таблицу знаков и найти значения переменной x, при которых неравенство выполнено:
x | (x + 1)(x - 1) + 5
------------------------------
-2 | (-1)(-3) + 5 = 8
-1 | (0)(-2) + 5 = 5
0 | (-1)(-1) + 5 = 6
1 | (2)(0) + 5 = 5
2 | (3)(1) + 5 = 8
Исходя из таблицы знаков, неравенство (x + 1)(x - 1) + 5 ≥ 0 выполнено для всех значений x, кроме -1 и 1. Это означает, что функция f(x) определена для всех значений x, кроме -1 и 1.
Однако, дополнительно нужно проверить, не являются ли -1 и 1 полюсами функции, т.е. значениями x, при которых знаменатель функции равен нулю. В данном случае, знаменатель функции равен x - 1, и следовательно, x = 1 является полюсом функции.
Таким образом, область определения функции f(x) равна множеству всех действительных чисел, кроме x = -1 и x = 1. В этой области определения функции f(x) будут находиться целые числа, если и только если в этой области будут находиться целые значения переменной x. Но так как любое целое число может входить в область определения функции, аналитически определить количество целых чисел в этой области невозможно.