Question

найдите первообразную (интегрирование по частям)
(3x + 7)cos5xdx

Answer 1

$f(x) = (3x + 7)\cos 5x$

Найдем первообразную для функции $f(x)$ в виде неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int\limits {(3x + 7)\cos 5x} \, dx$

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций, то справедлива следующая формула:

$\displaystyle \int\limits {u} \, dv = uv - \int\limits {v} \, du$

Предполагается, что нахождение интеграла $\displaystyle \int v\,du$ проще, чем $\displaystyle \int u\,dv$

Таким образом, сделаем соответствующие замены:

$3x + 7 = u \Rightarrow du = 3 \, dx$

$\cos 5x = dv \Rightarrow v = \displaystyle \int\limits {\cos 5x} \, dx = \dfrac{1}{5} \sin 5x$ (константу $C$ опускаем)

Имеем:

$\displaystyle \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x - \int\limits {\dfrac{1}{5}\sin 5x \cdot 3} \, dx$

Упрощаем:

$\displaystyle \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x - \dfrac{3}{5}\int\limits {\sin 5x} \, dx$

$\dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x + \dfrac{3}{25} \cos 5x + C$

Следовательно, $F(x) = \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x + \dfrac{3}{25} \cos 5x + C$

ответ: $F(x) = \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x + \dfrac{3}{25} \cos 5x + C$

Answer 2

Вроде как-то так

Объяснение: