Question

На «3»
1.Найдите первообразные следующих
функций:
а) f(x) = 6х3 - 2x + 1;
6) f(x) = cos x + 2/sin2x
в) f(x) = sin(3х – п).
С решением

Answer 1

a) Для поиска первообразной функции f(x) = 6x^3 - 2x + 1, мы должны найти функцию F(x), такую что F'(x) = f(x).

Итак, для первого слагаемого 6x^3, мы знаем, что его первообразная функция будет иметь вид F_1(x) = (6/4)x^4 = (3/2)x^4.

Для второго слагаемого -2x, его первообразной будет F_2(x) = -x^2.

А для последнего слагаемого 1, его первообразной будет F_3(x) = x.

Теперь, объединяя эти первообразные функции, получаем F(x) = (3/2)x^4 - x^2 + x + C, где C - произвольная константа.

b) Для функции f(x) = cos(x) + 2/sin^2(x), мы должны найти функцию F(x), такую что F'(x) = f(x).

Заметим, что первое слагаемое cos(x) - это первообразная функция синуса: F_1(x) = sin(x).

Для второго слагаемого 2/sin^2(x), мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) согласно тригонометрическому тождеству.

Таким образом, имеем f(x) = cos(x) + 2/(1 - cos^2(x)).

Далее, мы замечаем, что полученное выражение - это дифференциал функции тангенса: f(x) = sec^2(x).

Таким образом, F(x) = tan(x) + C, где C - произвольная константа.

в) Для функции f(x) = sin(3x - п), мы должны найти функцию F(x), такую что F'(x) = f(x).

Заметим, что данная функция является композицией синуса и линейной функции (3x - п).

Определенный способ решения этого вида задач - замена переменной.

Пусть u = 3x - п, тогда du = 3dx и dx = du/3.

Подставим это в исходную функцию: f(x) = sin(u).

Теперь мы знаем, что первообразная функция sin(u) - это -cos(u): F(u) = -cos(u).

Теперь нужно вернуться к исходной переменной x.

Подставим обратную замену переменной: F(x) = -cos(3x - п) + C, где C - произвольная константа.

Таким образом, это будет ответ для данной задачи.