Question

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной астроидой

Answer 1

$V=\pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx$

Так как астроида симметрична относительно оси Ох и Оу, то

вычислим половину объема, полученного вращением треугольника АОВ вокруг оси Ох  ( точке B соответствует значение параметра t=0; точке А  -  t=π/2)

$\frac{1}{2} V=\pi \int\limits^0_{\frac{\pi }{2} } {(asin^3t)^2} \, d(acos^3t)= \pi a^3\int\limits^0_{\frac{\pi }{2} } {(sin^6t}\cdot 3cos^2t\cdot(-sint) \, dt= \\ \\ =-3\pi a^3\int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {(1-cos^2t)^3 \cdot cos^2td(cost)} \, dt=\frac{16 \pi a^3 }{105}$

$V=\frac{32\pi a^3 }{105}$