Question

Решите логарифмические неравенства

Answer 1

Переходим к новому основанию (к основанию 3)

$\dfrac{\log_3(3x)}{\log_3(9x)}+\dfrac{\log_3(9x^2)}{\log_3(3x^2)}\leq \dfrac{5}{2}\\ \\ \dfrac{1+\log_3x}{2+\log_3x}+\dfrac{2\log_3|3x|}{1+2\log_3|x|}\leq \dfrac{5}{2}$

Учтём для начала ОДЗ

$x0\\ 3x^2\ne 1~~~\Rightarrow~~~ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ 9x\ne 1~~~\Rightarrow~~~ x\ne\dfrac{1}{9}$

На области допустимых значений мы можем убрать модуля в подлогарифмечких выражений.

$\dfrac{1+\log_3x}{2+\log_3x}+\dfrac{2+2\log_3x}{1+2\log_3x}\leq \dfrac{5}{2}\\ \\ \Big(1+\log_3x\Big)\Bigg(\dfrac{1}{2+\log_3x}+\dfrac{2}{1+2\log_3x}\Bigg)\leq \dfrac{5}{2}\\ \\ \Big(1+\log_3x\Big)\cdot\dfrac{1+2\log_3x+4+2\log_3x}{(2+\log_3x)(1+2\log_3x)}\leq \dfrac{5}{2}\\ \\ \dfrac{-2\log_3^2x-7\log_3x}{(2+\log_3x)(1+2\log_3x)}\leq 0\\ \\ \dfrac{\log_3x(2\log_3x+7)}{(2+\log_3x)(1+2\log_3x)}\leq 0$

Решаем уравнениe

$\dfrac{\log_3 x(2\log_3x+7)}{(2+\log_3x)(1+2\log_3x)}=0\\ \\ x_1=1\\ \\ x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{81}$

(0)__-___[√3/81]__+__(1/9)__-__(1/√3)___+__[1]___-__

$x \in \Big(0;\dfrac{\sqrt{3}}{81}\Big]\cup \Big(\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)\cup \Big[1;+\infty\big)$