Числа 0, 1, 2, 3, 4 требуется расставить в прямоугольнике 3х5 так, чтобы в каждой строке каждое число встречалось ровно один раз, а сумма чисел в каждом столбце оказалась равна числу, написанному под ним. Некоторые числа уже вписаны (см. рисунок). Какое число придется вписать вместо во знака?
1. Во втором столбце осталась одна свободная клетка. Туда записывается 5-0-2=3.
2. В третьем столбце сумма двух свободных клеток должна равняться 3-0=3. Так как 0 в этом столбце уже есть, то эта сумма будет складываться из 1 и 2. 2 в первой строке уже есть, поэтому туда записывается 1, а в третью строку записывается 2.
3. В четвертом столбце получить четверку можно лишь сложив числа 0, 1 и 3. В первой строке уже есть цифры 0 и 1, значит туда записывается 3.
4. Оставшиеся два места в четвертом столбце должны занять цифры 0 и 1, но 0 уже есть во второй строке, значит туда записывается 1, а 0 записывается в третью строку.
5. В первой строке не хватает числа 4.
6. В последнем столбце сумма свободных клеток должна быть 11-4=7. Эту сумму можно получить только сложив 3 и 4, причем число 3 уже есть в третье строке. значит, его записываем во вторую строку, а в третью строку записываем 4.
7. Во второе строке не хватает числа 4, а в третьей - искомого числа - числа 1.
Предположим, что утверждение верно для n=k. Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1. Так как , следуя предположению то прибавив к данному выражению d. Мы получим следующий член . Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д.
2) База : 1 Проверка: .
Предположение:
Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при :
Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее): т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.
3) Это не формула общего члена, это формула суммы. При получается деление на ноль, поэтому сразу пишем База: 1 Предположим, что формула верна для: Покажем и докажем что формула верна для : Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме. Ч.Т.Д.
проверено.
![a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk](/tpl/images/0582/6750/35dc7.png)
![S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}](/tpl/images/0582/6750/67d86.png)
. ![n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}](/tpl/images/0582/6750/b9ca4.png)
:
получается деление на ноль, поэтому сразу пишем 
![b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}](/tpl/images/0582/6750/552be.png)
1. Во втором столбце осталась одна свободная клетка. Туда записывается 5-0-2=3.
2. В третьем столбце сумма двух свободных клеток должна равняться 3-0=3. Так как 0 в этом столбце уже есть, то эта сумма будет складываться из 1 и 2. 2 в первой строке уже есть, поэтому туда записывается 1, а в третью строку записывается 2.
3. В четвертом столбце получить четверку можно лишь сложив числа 0, 1 и 3. В первой строке уже есть цифры 0 и 1, значит туда записывается 3.
4. Оставшиеся два места в четвертом столбце должны занять цифры 0 и 1, но 0 уже есть во второй строке, значит туда записывается 1, а 0 записывается в третью строку.
5. В первой строке не хватает числа 4.
6. В последнем столбце сумма свободных клеток должна быть 11-4=7. Эту сумму можно получить только сложив 3 и 4, причем число 3 уже есть в третье строке. значит, его записываем во вторую строку, а в третью строку записываем 4.
7. Во второе строке не хватает числа 4, а в третьей - искомого числа - числа 1.
ответ: 1