Question

1. В каких точках кривой
y = 2-3x+2x^2 касательная к ней образует с осью Ох угол в 45°.

В ответе указать абсциссу и ординату точек.

2. Найти производную второго порядка функции
y = x^2lnx+2x.

3. Записать уравнение касательной к графику функции (...) (во вложении) в точке с абсциссой x = -2.

​

Answer 1

1. В каких точках кривой

y = 2-3x+2x² касательная к ней образует с осью Ох угол в 45°.

у=kx+b уравнение касательной, где

k=tgα=f'(x)

tg45°=1

f'(x)=(2-3x+2x²)'=-3+2*2x=4x-3=1

4x-3=1

4x=4

x₀=1

у°=2-3*1+2*1=1

Точка касания А(1; 1)

2.

y'=(x²lnx+2x)'=(x²)'lnx+x²(lnx)'+2=2xlnx+x²/x+2=2xlnx+x+2

y''=(2xlnx+x+2)'=2x'lnx+2x(lnx)'+1=2lnx+2x/x+1=2lnx+3

3.

Найдем координату точки пересечения касательной и функции:

y(-2)=-2/(-2+1)=2

y=kx+b

k=y'

$y'=(\frac{x}{x+1})'=\frac{x'(x+1)-x(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\\ \\ x_0=-2\\ \\ y'(-2)=\frac{1}{(-2+1)^2}=1$

2=1*(-2)+b

b=4

y=x+4 касательная к графику у=х/(х+2) в точке х=-2