Question

ОГЭ. Задача с развернутым решением! Стороны ромба EFGH являются гипотенузами прямоугольных равнобедренных треугольников EAF, FDG, GCH и HBE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найдите CH.

Answer 1

Добро пожаловать в урок, школьник! Давай разберемся с задачей. Итак, у нас есть ромб EFGH, а его стороны EAF, FDG, GCH и HBE являются гипотенузами прямоугольных равнобедренных треугольников. Кстати, равнобедренный треугольник – это такой треугольник, у которого две стороны равны между собой. Понятно, что у ромба все стороны равны друг другу (так как он ромб), а каждая из сторон ромба является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника, значит, все стороны этих треугольников равны между собой. Давай обозначим сторону ромба EFGH через x (это будет общая длина всех сторон прямоугольных равнобедренных треугольников). Теперь, площадь прямоугольного треугольника равна (основание * высоту) / 2. Основание и высоту этого треугольника можно найти, зная длину гипотенузы (которая равна стороне ромба) по теореме Пифагора (c^2 = a^2 + b^2). Давай найдем площадь одного из прямоугольных равнобедренных треугольников, например, EAF. Если EAF является прямоугольным равнобедренным треугольником, то оно имеет две равные стороны, а третья сторона (гипотенуза) равна x (длине стороны ромба). По теореме Пифагора, у нас есть: (x/2)^2 + (x/2)^2 = x^2. Раскроем скобки и рассчитаем: x^2/4 + x^2/4 = x^2. (2x^2 + 2x^2)/4 = x^2. 4x^2/4 = x^2. x^2 = x^2. Отлично! У нас получилось равенство. Это значит, что длина стороны ромба x равна длине гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника EAF. Теперь мы знаем, что сторона GCH также равна x. Найдем площадь ромба. Площадь ромба равна (диагональ 1 * диагональ 2) / 2. Диагонали ромба делят его на 4 прямоугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному равнобедренному треугольнику EAF. Тогда площадь ромба равна 4 * площадь EAF: Площадь ромба = 4 * ((x/2)*(x/2))/2. Площадь ромба = 4 * (x^2/4)/2. Площадь ромба = 4 * (x^2/8). И, согласно условию задачи, сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12: S(ABCD) + S(EFGH) = 12. Площадь ABCD можно найти через формулу: длина стороны * высоту. Вспомним, что у нас была сторона EFGH равна x. Тогда сторона ABCD также равна x. Значит, площадь ABCD равна x * H, где H – высота четырехугольника ABCD. Теперь у нас есть система уравнений: x * H + 4 * (x^2/8) = 12. x * H + x^2/2 = 12. У нас есть уравнение, в котором есть две переменные x и H. Давай найдем такое соотношение, которое позволит нам их связать. Заметим, что прямоугольные треугольники EAF, FDG, GCH и HBE являются подобными, так как все имеют прямые углы и две равные стороны. Значит, их высоты тоже будут связаны соответственно. Зная, что сторона EFGH (x) равна сумме сторон прямоугольных равнобедренных треугольников EAF, FDG, GCH и HBE, можем записать: x = EAF + FDG + GCH + HBE. H = FD/2 + GC/2. Тут мы обозначили сторону прямоугольного равнобедренного треугольника через первую букву названия треугольника, а его высоту – через первую букву названия треугольника и "D" или "G" (например, высота EAF обозначена FD). Подставим эти равенства в наше уравнение: x * (FD/2 + GC/2) + x^2/2 = 12. Теперь вынесем x за скобки: x * FD/2 + x * GC/2 + x^2/2 = 12. Общий делитель этого уравнения – 2. Поделим все слагаемые на 2: (x^2 + x * FD + x * GC) / 2 = 12. Так как у нас есть уравнение соотношения сторон треугольников, можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим GC через FD. Мы знаем, что FD = x/2, так как сторона FDG является половиной стороны ромба. Подставим это в уравнение: (x^2 + x * (x/2) + x * (x/2)) / 2 = 12. (x^2 + x^2/2 + x^2/2) / 2 = 12. (2x^2 + x^2 + x^2) / 4 = 12. 4x^2/4 = 12. x^2 = 12. Теперь найдем значение x: x = sqrt(12). Извлечение квадратного корня делаем с помощью калькулятора или таблицы квадратных корней (замечу, что значение остается неизвестным, так как квадратный корень из 12 – это и есть ответ). Итак, мы нашли значение стороны ромба x, но в вопросе нас просят найти длину стороны GCH. Это же x! Значит, CH = x. Ответ: CH = sqrt(12). Надеюсь, моё решение было для тебя понятным, и ты осознаешь логику решения этой задачи. Если что-то не понятно, не стесняйся задавать вопросы!