№9.8
1) Являются ли b1=3, b4=38, b11=31024 членами геометрической прогрессии?
2) Пусть b2=9, b5=-243 - члены геометрической прогрессии. Найдите b7, b4, q, S6.
3) Пусть b5=0,00001, b8=0,00000001 - члены геометрической прогрессии. Найдите b7, b4, q, S.
4) Пусть b3=0,004,b5=0,00004 - члены геометрической прогрессии. Каким может быть q?
5) Пусть для геометрической прогрессии S4=2556, q=4. Найдите b5.
№9.4(А)
Превратите периодическую десятичную дробь в обыкновенную
1) Чтобы определить, являются ли числа b1=3, b4=38, b11=31024 членами геометрической прогрессии, нужно проверить, возможно ли получить каждый следующий член прогрессии, умножив предыдущий на одно и то же число q.
Для этого вычислим отношения между членами прогрессии:
b4 / b1 = 38 / 3 = 12.67
b11 / b4 = 31024 / 38 = 816.21
Если отношения между членами прогрессии равны, то все числа действительно являются членами геометрической прогрессии. В данном случае это не так, поэтому b1=3, b4=38, b11=31024 не являются членами геометрической прогрессии.
2) Даны числа b2=9, b5=-243 и известно, что они являются членами геометрической прогрессии. Найдем q - это число, на которое нужно умножить предыдущий член, чтобы получить следующий. Для этого поделим b5 на b2:
q = b5 / b2 = -243 / 9 = -27
Теперь находим члены прогрессии по формуле каждый раз умножая предыдущий член на q:
b7 = b2 * q^5 = 9 * (-27)^5 = -19683
b4 = b2 * q^2 = 9 * (-27)^2 = 2187
Также, по формуле суммы геометрической прогрессии:
S6 = b2 * (1 - q^6) / (1 - q) = 9 * (1 - (-27)^6) / (1 - (-27)) = 9 * (1 - 387420489) / 28 = 9 * (-387420488) / 28 = - 3129390432 / 28 = -111763229.14
3) Даны числа b5=0,00001, b8=0,00000001 и известно, что они являются членами геометрической прогрессии. Найдем q, аналогично предыдущему пункту:
q = b8 / b5 = 0,00000001 / 0,00001 = 0.001
Теперь находим члены прогрессии:
b7 = b5 * q^2 = 0,00001 * (0.001)^2 = 0,00001 * 0.000001 = 0.00000000001
b4 = b5 * q^3 = 0,00001 * (0.001)^3 = 0,00001 * 0.000000001 = 0.00000000000001
4) Даны числа b3=0,004, b5=0,00004 и известно, что они являются членами геометрической прогрессии. Найдем q, аналогично предыдущим пунктам:
q = b5 / b3 = 0,00004 / 0,004 = 0.01
Здесь q равно 0.01.
5) Дано, что S4 (сумма первых 4-х членов прогрессии) равна 2556 и известно значение q равное 4. Нам нужно найти b5.
Сначала найдем значение первого члена прогрессии b1, используя формулу:
S4 = b1 * (1 - q^4) / (1 - q)
2556 = b1 * (1 - 4^4) / (1 - 4)
2556 = b1 * (1 - 256) / -3
2556 = b1 * (-255) / -3
2556 = b1 * 85
b1 = 2556 / 85
b1 = 30
Теперь, используя формулу для члена прогрессии b5:
b5 = b1 * q^(5-1)
b5 = 30 * 4^4
b5 = 30 * 256
b5 = 7680
Ответ: b5 = 7680
№9.4(А)
Задание заключается в превращении периодической десятичной дроби в обыкновенную.
Пусть дано число 0,77 (периодическая десятичная дробь) и задача состоит в том, чтобы представить его в виде обыкновенной дроби.
Обозначим x = 0,77.
Умножим число x на 100, чтобы избавиться от десятичной точки:
100x = 77,77
Теперь вычтем из уравнения изначальное число x:
100x - x = 77,77 - 0,77
99x = 77
Разделим обе стороны уравнения на 99, чтобы найти значение x:
99x / 99 = 77 / 99
x = 77 / 99
Мы получили обыкновенную дробь 77/99, которая эквивалентна периодической десятичной дроби 0,77.
Ответ: 0,77 = 77/99.