Для начала посмотрим на остатки от деления на 3. Правая часть делится на 3, тогда и левая часть делится на 3. 1) Если x = 3k, левая часть даёт остаток 0 - 0 - 1 = -1 ~ 2 при делении на 3, так что таких целых корней у уравнения нет. 2) Если x = 3k - 1, остаток левой части равен: -1 + 1 - 1 = -1 ~ 2, опять левая часть не делится на 3. 3) Если x = 3k + 1, остаток левой части равен: 1 - 1 - 1 = -1 ~ 2, снова не делится.
Получили, что при любом значении x левая часть на 3 не делится, а правая делится. Тогда целочисленных решений у данного уравнения нет.
Остатки можно было бы не находить перебором, а заметить, что x^3 - x = (x - 1) x (x + 1) делится на 3.
Пятизначное число имеет вид . Всего пятизначных чисел, которые состоят из этих неповторяющихся цифр, 120. На месте десятков тысяч будет любая цифра из пяти, на месте тысяч будет любая цифра из оставшихся четырех, на месте сотен будет любая из оставшихся трех цифр, на месте десятков будет любая из двух оставшихся цифр, на месте единиц будет последняя цифра, следовательно, 5*4*3*2*1=120 пятизначных чисел, которые составлены из цифр 1, 2, 3, 4, 5
Всего пятизначных чисел, которые начинаются с 45, будет 6. На месте десятков тысяч будет только 4, на месте тысяч будет только 5, на месте сотен будет любая из оставшихся трех цифр, на месте десятков будет любая из двух оставшихся цифр, на месте единиц будет последняя цифра, следовательно, 1*1*3*2*1=6 пятизначных чисел, которые начинаются с числа 45.
120-6=114 пятизначных чисел, которые не содержат одинаковых цифр и не начинаются с числа 45.
Объяснение: