4+0+...4(2-n)=2n(3-n) Док-во: 1) Проверим, что верно n=1: 4=2*1(3-1); 4=2(2); 4=4 -верно 2)Допустим, что верно для n=k, тогда: 4+...+4(2-k)=2k(3-k) 3)Докажем, что верно для n=k+1, тогда 4+...+4(2-(k+1))=2(k+1)(3-(k+1)); 4+...+4(2-1-k)=2(k+1)(3-1-k); 4+...+4(1-k)=2(k+1)(2-k) -? 4+...+4(1-k)=2(k+1)(2-k)=> {4+...+4(2-k)}+4(1-k)= то, что находится в {...} заменяем на то, что получили во втором шаге, т.е. на 2k(3-k), получаем = 2k(3-k)+4(1-k)=6k-2k^2+4-4k= 6k-4k-2k^2+4= 2k-2k^2+4= -(2k^2-2k-4) Раскладываем квадратное уравнение -(2k^2-2k-4)=0; D=4+32=36=6^2 k1=(2-6)/4=-4/4=-1; k2=(2+6)/4=10/4 => -(2k^2-2k-4)=-2(k-10/4)(k+1)=(-2k+5)(k+1)= =(5-2k)(k+1)=2(2.5-k)(k+1) Получается, что неверно, но м.б. я гдн-то ошибся, но в общем такого вида получается док-во
Пусть 10a+b - двузначное число Впишем между его цифрами ноль, получим трёхзначное число 100a+b По условию, оно в 9 раз больше исходного числа, т.е. 100a+b=9(10a+b) 100a+b=90a+9b 100a-90a=9b-b 10a=8b a=8b:10 a=0,8b
при b=1 a=0,8*1=0,8 - не цифра при b=2 a=0,8*2=1,6 - не цифра при b=3 a=0,8*3=2,4 - не цифра при b=4 a=0,8*4=3,2 - не цифра при b=5 a=0,8*5=4 - цифра 45 - искомое число (45*9=405) при b=6 a=0,8*6=4,8- не цифра при b=7 a=0,8*7=5,6 -не цифра при b=8 a=0,8*8=6,4 -не цифра при b=9 a=0,8*9=7,2 -не цифра *** Для понимания хода решения и рассуждений показаны все варианты перебора
Итак, существует только одно двузначное число, обладающее указанными свойствами. Оно равно 45 ответ: 45
4+0+...4(2-n)=2n(3-n)
Док-во: 1) Проверим, что верно n=1: 4=2*1(3-1); 4=2(2); 4=4 -верно
2)Допустим, что верно для n=k, тогда: 4+...+4(2-k)=2k(3-k)
3)Докажем, что верно для n=k+1, тогда 4+...+4(2-(k+1))=2(k+1)(3-(k+1));
4+...+4(2-1-k)=2(k+1)(3-1-k); 4+...+4(1-k)=2(k+1)(2-k) -?
4+...+4(1-k)=2(k+1)(2-k)=> {4+...+4(2-k)}+4(1-k)= то, что находится в {...} заменяем на то, что получили во втором шаге, т.е. на 2k(3-k), получаем
= 2k(3-k)+4(1-k)=6k-2k^2+4-4k= 6k-4k-2k^2+4= 2k-2k^2+4= -(2k^2-2k-4)
Раскладываем квадратное уравнение -(2k^2-2k-4)=0; D=4+32=36=6^2
k1=(2-6)/4=-4/4=-1; k2=(2+6)/4=10/4 => -(2k^2-2k-4)=-2(k-10/4)(k+1)=(-2k+5)(k+1)=
=(5-2k)(k+1)=2(2.5-k)(k+1)
Получается, что неверно, но м.б. я гдн-то ошибся, но в общем такого вида получается док-во