Question

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:
a) у = х3 + 3 – х2 на отрезке [0; 3].
b) у = х3 + 6х2 – 4 на отрезке [ -1; 3 ].
c) у = 2х3 - 6х2 + 3 на отрезке [1; 3]
2. В прямоугольной комнате площадью 42 м2 требуется установить
плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 120
рублей. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на
покупку плинтуса будут наименьшими?
3. Необходимо изготовить открытый резервуар цилиндрической формы,
объем которого равен 64π дм3. При каких размерах резервуара (радиусу
основания и высоте) на его изготовление тратится наименьшее
количество металла?

Answer 1

1. Чтобы найти точки минимума и максимума функции:

1) Находим производную, приравниваем ее к 0 и находим критические точки

2) Находим точки на концах отрезка

a) у = х³ + 3- х² на отрезке [0; 3]

y'=(х³ + 3- х²)'=3x²-2х=0

х=0   х=2/3

    +                        -                    +                    

02/3

Обе точки входят в интервал [0;3]

y(0)=(0+3-0)=3

y(2/3)=(2/3)³+3-(2/3)²=8/27+3-4/9=2 23/27

y(3)=3³+3-3²=21

Наибольшее значение на отрезке [0;3]: 21

Наименьшее значение на отрезке [0;3]: 2  23/27

b) у = х³ + 6х² - 4 на отрезке [ -1; 3 ]

y'=(х³ + 6х² - 4)'=3x²+12x=3x(x+4)=0

       +                      -              +

-40

-4 ∉ [-1; 3]

y(-1)=-1+6-4=1

y(0)=0+0-4=-4

y(3)=3³+6*3²-4=77

Наибольшее значение на отрезке [-1;3]: 77

Наименьшее значение на отрезке [-1;3]: 1

c) у = 2х³ - 6х² + 3 на отрезке [1; 3]

y'=(2х³ - 6х² + 3)'=6x²-12x=6x(x-2)=0

   +                         -                  +

02

0 ∉ [1; 3]

y(1)=2-6+3=-1

y(2)=2*2³-6*2²+3=16-24+3=-5

y(3)=2*3³-6*3²+3=3

Наибольшее значение на отрезке [1;3]: 3

Наименьшее значение на отрезке [1;3]: -5

2.

х м длина комнаты

42/х м - ширина комнаты

Р=2(х+42/х) периметр комнаты

120*2(х+42/х) затраты

Поскольку затраты минимальны, то найдем производную функции:

(240*(х+42/х))'=240(1-42/x²)

Приравняем произаодную к 0 и найдем критический точки:

240(1-42/х²)=0

(х²-42)/х²=0

     +                              -                      -                            +

-√420√42

Значит минимальным значением будет ширина √42 м, то есть при квадратной комнате.

Поскольку нам надо найти целый значение, то макисмально приближенные целые значения 6 м *7 м.

ответ 6 м* 7 м

3.

V=πR²h=64π объем цилиндра

h=64π/(πR²)=64/r²

S=πr²+2πrh=πr²+2πr*64/r²=πr²+128π/r  площадь открытого резервуар

Чтобы определить минимум найдем производную:

S'=(πr²+128π/r)'=2πr-128π/r²=2π(r²-64)/r²=2π(r-8)(r+8)/r²

    +                   -                      -                         +

-808

Наименьшее значение при r=8 дм

h=64/8²=1 дм