Здравствуйте!
Вы уже тему квадратных уравнений. Вы знаете, что его стандартный вид ax^2+bx+c=0. Но бывают ещё и квадратные трехчлены. Они отличаются тем, что они не равны нулю и значения х мы найти не можем. Но мы можем упростить такие выражения.
Надо запомнить стандартный вид квадратного трехчлена: ах^2+bx+c.
Как упростить квадратный трехчлен?
Надо найти корни уравнения, где данный трехчлен равен нулю. То есть отдельно приравнять данное выражение к нулю и найти корни. Дальше воспользоваться формулой.
Формула упрощения квадратного трехчлена:
ах^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
x1 и x2- корни решенного уравнения.
Запомним, что когда уравнение имеет один корень, то оно имеет видоизмененную формулу:
ах^2+bx+c=a(x-x1)^2.
Когда уравнение не имеет корней, его упростить нельзя.
Приступим к практике:
1. Дан квадратный трехчлен x^2-7x+12.
Находим корни уравнения, когда выражение равно нулю:
x^2-7x+12=0
По т. Виета получаем x1= 3; x2= 4.
Подставляем в формулу:
x^2-7x+12=1*(x-3)*(x-4)= (x-3)(x-4).
2. Дан квадратный трехчлен x^2+8x+15.
Находим корни уравнения, когда выражение равно нулю:
x^2+8x+15=0
По т. Виета получаем x1= -3; x2= -5.
Подставляем в формулу:
x^2+8х+15=1*(x-(-5))*(x-(-3))= (x+5)(x+3).
3. Дан квадратный трехчлен 4x^2+3x-22.
Находим корни уравнения, когда выражение равно нулю:
4x^2+3x-22=0
D=9+22*4*4=361
=19
x1=(-3-19)/8=-2,75
x2=(-3+19)/8=2
Подставляем в формулу:
4x^2+3x-22=4*(x-(-2,75))*(x-2)=4 (x+2,75)(x-2).
1.а) * * * cosα*cosβ = ( cos(α -β) +cos(α+β) ) /2
* * * sinα*cosβ = ( sin(α+β) +sin(α - β) ) /2
cos18°*cos72° - sin63°cos27° =
( cos(72°- 18°) +cos(72°+18°) ) /2 - ( sin(63°+27°) +sin(63° -27°) ) /2 =
(cos54° + cos90° )/2 - ( sin90° +sin36 ) /2 =
( cos(90°- 36°) + 0 )/2 - ( 1 +sin36°)/2 = ( sin36° - (1+sin36°) ) /2 = - 1/2.
- - - - - - -
2. вычислить cos10°*cos50°*cos70°
можно разными комбинациями
cos10°*cos50°*cos70° =(1/2) ( cos(50°+10°) +cos(50°- 10°) )*cos70°=
(1/2) (cos60° +cos40°)*cos70° =(1/2) ( (1/2)*cos70° ° +cos40°*cos70° )=
=(1/2) ( (1/2)*cos70° +(1/2)( cos(70°+40°)+cos(70°-40°) ) ) =
(1/4) ( cos70° +cos110° + cos30° ) =1/4) ( cos70° +cos(180° -70°) + √3 /2 )
(1/4) ( cos70°- cos70° + √3 /2 ) = √3 /8
- - - - - - -
3. упростите
cos(α+β)*cos(α -β) - cos²α -cos²β =
(1/2) ( cos(α+β+α -β ) +cos(α+β- α +β) ) + - cos²α - cos²β =
(1/2)cos2α+ (1/2)cos2β - cos²α - cos²β =
(1/2)( cos²α - sin²α + cos²β - sin²β - 2cos²α - 2cos²β ) =
(1/2)( - cos²α - sin²α - sin²β - cos²β ) =
(-1/2) ( (cos²α + sin²α) + (sin²β+ cos²β) ) = (-1/2) ( 1 + 1 ) = - 1
Второй
cos(α+β)*cos(α -β) - cos²α -cos²β =
cos(α+β)*cos(α -β) - (1+cos2α) /2 - (1+cos2β) /2 =
cos(α+β)*cos(α -β) - 1 - (cos2α + cos2β) /2 =
cos(α+β)*cos(α -β) - 1 - (2cos(α + β) *cos(α- β) ) /2 =
cos(α+β)*cos(α -β) - 1 - cos(α + β) *cos(α- β) = - 1