Question

Решите уравнение:
sin2x+4sinx+4cosx-5=0

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

Шаг 1: преобразуем уравнение.

$\sin2x+4\sin x+4\cos x-5=0\\\sin 2x+4(\sin x+\cos x)-5=0$

Шаг 2: выполним замену.

Замена:

$t=\sin x+\cos x\\t^2=1+\sin 2x\; =\; \sin 2x=t^2-1$

ОДЗ для буквы t:

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin \dfrac{\pi}{4}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Sin дает значения от -1 до 1 включительно. Если умножить их на $\sqrt{2}$, то получится, что $t\in\left[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}\right]$,

Шаг 3: решим квадратное уравнение.

Продолжим решение:

$t^2-1+4t-5=0\\t^2+4t-6=0\\\sqrt{\dfrac{D}{4}}=\sqrt{4+6}=\sqrt{10}\\t_{1,2}=-2\pm\sqrt{10}$

Рассмотрим корень $-2-\sqrt{10}\approx-5.16$ (а вообще понятно, что само число больше, чем корень из него, а тут мы еще корень из 10 вычитаем). Он посторонний, так как выше мы доказали, что $t\in\left[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}\right]$. Другой корень посторонним не является. Значит работать будем только с ним.

Шаг 4: обратная замена.

Обратная замена:

$t=-2+\sqrt{10},\; \sin x+\cos x=-2+\sqrt{10}$

Выше уже узнавали значение суммы sin и cos через одну тригонометрическую функцию. Поэтому пишу сразу:

$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-2+\sqrt{10}\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{\sqrt{2}}\\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{5}-\sqrt{2}\\$

Полученное уравнение можно без труда решить следующим образом:

$\left[\begin{array}{c}x+\dfrac{\pi}{4}=\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\\x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;\\\left[\begin{array}{c}x=-\dfrac{\pi}{4}+\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\\x=\dfrac{3\pi}{4}-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;$

$\left[\begin{array}{c}x=\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)-\dfrac{\pi}{4}+2n\pi,\; n\in Z\\x=-\arcsin\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+\dfrac{3\pi}{4}+2n\pi,\; n\in Z\end{array}\right;$

Уравнение решено!