Question

Значение бинома, разложением степени которого является C04+C14⋅4+C24⋅42+C34⋅43+C44⋅16

Answer 1

Для ответа на данный вопрос нам понадобится знание о биноме Ньютона и коэффициенте биномиального разложения.

Бином Ньютона представляет собой формулу, которая позволяет раскрыть степень бинома вида (a + b)^n. Он имеет следующий вид:

(a + b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnk * a^(n-k) * b^k + ... + Cnn * a^0 * b^n,

где Сnk обозначает число сочетаний из n элементов по k, и вычисляется по формуле:

Cnk = n! / (k! * (n-k)!),

где n! - факториал числа n.

Теперь, вернемся к задаче.

У нас дан бином (C04 + C14 * 4 + C24 * 42 + C34 * 43 + C44 * 16).

Для начала раскроем каждый отдельный член этого бинома с помощью бинома Ньютона.

1. C04 = 4! / (0! * (4-0)!) = 4! / (0! * 4!) = 1.
Здесь мы знаем, что 0! (факториал нуля) равен 1, поэтому мы можем сразу упростить этот член и записать 1.

2. C14 = 4! / (1! * (4-1)!) = 4! / (1! * 3!) = 4.
Снова используя факториалы, мы можем упростить этот член и записать 4.

3. C24 = 4! / (2! * (4-2)!) = 4! / (2! * 2!) = 6.

4. C34 = 4! / (3! * (4-3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4.

5. C44 = 4! / (4! * (4-4)!) = 4! / (4! * 0!) = 1.

Теперь, подставим значения в выражение и вычислим:

(1 + 4 * 4 + 6 * 42 + 4 * 43 + 1 * 16) = 1 + 16 + 504 + 172 + 16 = 709.

Таким образом, значение исходного бинома равно 709.

В этом ответе мы использовали бином Ньютона и вычисляли факториалы, чтобы получить значения коэффициентов Сnk. Это позволило нам разложить данную степень бинома и вычислить его значение.