Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому воспользуемся графическим методом или численными методами для нахождения корней.
Определим знак производной для каждого интервала:
Так как у нас нет точных значения корней, мы не можем однозначно определить знак производной для каждого интервала без дополнительного анализа или использования численных методов.
Таким образом, чтобы однозначно ответить на вопрос о промежутках возрастания и убывания для функции f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1 требуется провести дополнительный анализ или использовать численные методы для нахождения корней и определения знака производной на каждом интервале.
y' = (2x^2)' - (4x)' + (5)' = 4x - 4
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
4x - 4 = 0
4x = 4
x = 1
Теперь определим знак производной для каждого интервала:
Для x < 1:
Подставим любое значение меньше 1 в производную (например, x=0):
4(0) - 4 = -4
Производная отрицательна на промежутке (−∞, 1).
Для x > 1:
Подставим любое значение больше 1 в производную (например, x=2):
4(2) - 4 = 4
Производная положительна на промежутке (1, +∞).
Таким образом, функция y=2x^2 -4х +5 возрастает на интервале (1, +∞) и убывает на интервале (−∞, 1).
2. Вычислим производную функции y=(x-2)(x+3).
y' = [(x-2)'(x+3) + (x-2)(x+3)'] = [(1)(x+3) + (x-2)(1)] = x + 3 + x - 2 = 2x + 1
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Определим знак производной для каждого интервала:
Для x < -1/2:
Подставим любое значение меньше -1/2 в производную (например, x=-1):
2(-1) + 1 = -1
Производная отрицательна на промежутке (−∞, -1/2).
Для x > -1/2:
Подставим любое значение больше -1/2 в производную (например, x=0):
2(0) + 1 = 1
Производная положительна на промежутке (-1/2, +∞).
Таким образом, функция y=(x-2)(x+3) возрастает на интервале (-1/2, +∞) и убывает на интервале (−∞, -1/2).
3. Вычислим производную функции y=1 - (2-x)(3+2x).
y' = (1)' - [(2-x)'(3+2x) + (2-x)(3+2x)'] = - (3+2x) + (-1)(3+2x) = -3 - 2x - 3 - 2x = -6 - 4x
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
-6 - 4x = 0
-4x = 6
x = -6/4
x = -3/2
Определим знак производной для каждого интервала:
Для x < -3/2:
Подставим любое значение меньше -3/2 в производную (например, x=-2):
-6 - 4(-2) = -6 + 8 = 2
Производная положительна на промежутке (−∞, -3/2).
Для x > -3/2:
Подставим любое значение больше -3/2 в производную (например, x=0):
-6 - 4(0) = -6
Производная отрицательна на промежутке (-3/2, +∞).
Таким образом, функция y=1 - (2-x)(3+2x) возрастает на интервале (−∞, -3/2) и убывает на интервале (-3/2, +∞).
4. Вычислим производную функции f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1.
Для более удобного вычисления производной, разобьем функцию на отдельные слагаемые:
f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1
= 0.25^x4 + x^3 + (-0.5^x2) – 3x + 1
Теперь найдем производные для каждого слагаемого по отдельности:
(f(x))' = (0.25^x4)' + (x^3)' + ((-0.5^x2)') – (3x)' + (1)'
= 0 + 3x^2 + (0 - 2)(-0.5^x2)^(2-1) - 3 + 0
= 3x^2 + x + 1.5^x2
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
3x^2 + x + 1.5^x2 = 0
Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому воспользуемся графическим методом или численными методами для нахождения корней.
Определим знак производной для каждого интервала:
Так как у нас нет точных значения корней, мы не можем однозначно определить знак производной для каждого интервала без дополнительного анализа или использования численных методов.
Таким образом, чтобы однозначно ответить на вопрос о промежутках возрастания и убывания для функции f(x) = 0.25^x4 + x^3 — 0.5^x2 – 3x + 1 требуется провести дополнительный анализ или использовать численные методы для нахождения корней и определения знака производной на каждом интервале.