Лемма: Любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби (при этом считаем, что число, представимое в виде конечной десятичной дроби представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби, где период - (0))
Доказательство: Пусть есть некоторое рациональное число , где k - целое число, а l - натуральное. При вычислении бесконечной десятичной дроби данного числа мы делаем следующее: 1) Считаем целую часть от деления текущего числителя на знаменатель (и выписываем в данную позицию) 2) Числитель заменяется остатком при делении предыдущего числителя на знаменатель 3) Числитель умножается на 10 и переход к действию 1)
Так как число остатков при делении на l конечно (возможно ровно l различных остатков), то на определенном шаге на действии 2) окажется то же число, что было ранее. Но ввиду особенности действий (умножение на одно и то же число, делении на одно и то же число) будет повторяться тот же набор чисел, что был между двумя данными одинаковыми - возникает период.
Доказано.
Теперь докажем, что число из условия нельзя представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Предположим обратное:
Пусть То есть период состоит из m цифр. Но так как в данном числе подряд выписаны все натуральные числа, то с некоторой позиции выписаны m-значные числа 100...0, 100...01, 100..02 Начало периода могло попасть на любую цифру первого числа (но точно пришлось на какую-то из них), как нетрудно убедиться, вне зависимости от того, на какую цифру пришлось начало периода, весь период состоит ровно из 1 единицы и m-1 нуля, в то время, как следующий за ним содержит 2 единицы и m-2 нуля (а должны быть одинаковыми). Противоречие. Значит данное число иррациональное
(был отброшен вариант с периодом длины 1, так как иначе после некоторого числа p одинаковых цифр все равно будет идти другая цифра)
Левая часть 1-го уравнения - это сумма расстояний от точки (x;y) координатной плоскости до точек А(0;1) и B(0;16). По неравенству треугольника, если точка (x;y) лежит вне отрезка АB, эта сумма расстояний должна быть больше длины АВ, т.е., больше 15. У нас левая часть равна 15, значит (x;y)∈AB, и понятно, что любая точка (0;y) при y∈[1;16] удовлетворяет 1-му уравнению. Второе уравнение задает параболу с вершиной (0;a), поэтому, максимальное а, при котором система имеет одно решение, равно 16. Решение при этом будет (0;16).
Лемма:
Любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби (при этом считаем, что число, представимое в виде конечной десятичной дроби представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби, где период - (0))
Доказательство:
Пусть есть некоторое рациональное число
1) Считаем целую часть от деления текущего числителя на знаменатель (и выписываем в данную позицию)
2) Числитель заменяется остатком при делении предыдущего числителя на знаменатель
3) Числитель умножается на 10 и переход к действию 1)
Так как число остатков при делении на l конечно (возможно ровно l различных остатков), то на определенном шаге на действии 2) окажется то же число, что было ранее. Но ввиду особенности действий (умножение на одно и то же число, делении на одно и то же число) будет повторяться тот же набор чисел, что был между двумя данными одинаковыми - возникает период.
Доказано.
Теперь докажем, что число из условия нельзя представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Предположим обратное:
Пусть
То есть период состоит из m цифр. Но так как в данном числе подряд выписаны все натуральные числа, то с некоторой позиции выписаны m-значные числа 100...0, 100...01, 100..02
Начало периода могло попасть на любую цифру первого числа (но точно пришлось на какую-то из них), как нетрудно убедиться, вне зависимости от того, на какую цифру пришлось начало периода, весь период состоит ровно из 1 единицы и m-1 нуля, в то время, как следующий за ним содержит 2 единицы и m-2 нуля (а должны быть одинаковыми). Противоречие.
Значит данное число иррациональное
(был отброшен вариант с периодом длины 1, так как иначе после некоторого числа p одинаковых цифр все равно будет идти другая цифра)