Для нахождения наименьшего значения функции произведем следующие шаги:
1. Определение интервалов, на которых функция может достигнуть экстремума. Для этого найдем значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для заданной функции, применим метод дифференцирования:
f(x) = 10x - 10ln(x+3) + 24
Применим правило дифференцирования логарифмической функции и получим:
f'(x) = 10 - 10/(x+3)
Приравняем производную к нулю и найдем значения x:
10 - 10/(x+3) = 0
10(x+3) - 10 = 0
10x + 30 - 10 = 0
10x + 20 = 0
10x = -20
x = -2
Таким образом, получили, что производная равна нулю при x = -2. Значит, наша функция может достигать экстремума в точке x = -2.
2. Далее необходимо проверить значения функции на концах отрезка [-2.5; 0]. Подставим эти значения в функцию и найдем результат:
3. Таким образом, нам необходимо сравнить значения функции f(x) при x = -2, x = -2.5 и x = 0. Наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке [-2.5; 0].
Окончательно, наименьшее значение функции f(x) = 10x - 10ln(x+3) + 24 на отрезке [-2.5; 0] будет при x = -2.5 и равно 5.93.
Чтобы решить неравенство, мы должны понять, в каких интервалах график функции ниже или выше оси x.
На рисунке видно, что график функции является параболой. Парабола направлена вниз, поскольку коэффициент при x^2 отрицателен (-1).
Мы хотим найти значения x, при которых у отрицательно. Зная, что у = -x^2 + 2x, мы можем записать неравенство:
-х^2 + 2x < 0
Теперь нам нужно определить, в каких интервалах это неравенство истинно. Для этого разложим неравенство на два уравнения:
1) -х^2 + 2x = 0
2) -х^2 + 2x > 0
Для первого уравнения, ищем значения х, при которых график функции пересекает ось x. Для этого нужно поставить выражение равным нулю и решить уравнение:
-х^2 + 2x = 0
Факторизуем это уравнение:
x(-x + 2) = 0
Таким образом, у нас две возможные точки пересечения с осью x: x = 0 и x = 2.
В таблице плюс (+) означает, что неравенство является истинным, а минус (-) означает, что неравенство ложно.
Таким образом, можно сделать вывод, что неравенство -х^2 + 2x < 0 верно на интервале (0, 2); а неравенство -х^2 + 2x > 0 верно на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).
Ученику может быть полезно также объяснить, что неравенство -х^2 + 2x < 0 означает, что значение функции у отрицательно на интервале (0, 2), а неравенство -х^2 + 2x > 0 означает, что значение функции у положительно на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).
1. Определение интервалов, на которых функция может достигнуть экстремума. Для этого найдем значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для заданной функции, применим метод дифференцирования:
f(x) = 10x - 10ln(x+3) + 24
Применим правило дифференцирования логарифмической функции и получим:
f'(x) = 10 - 10/(x+3)
Приравняем производную к нулю и найдем значения x:
10 - 10/(x+3) = 0
10(x+3) - 10 = 0
10x + 30 - 10 = 0
10x + 20 = 0
10x = -20
x = -2
Таким образом, получили, что производная равна нулю при x = -2. Значит, наша функция может достигать экстремума в точке x = -2.
2. Далее необходимо проверить значения функции на концах отрезка [-2.5; 0]. Подставим эти значения в функцию и найдем результат:
f(0) = 10*0 - 10ln(0+3) + 24
= 0 - 10ln(3) + 24
≈ 0 - 10*1.099 + 24
≈ 0 - 10.99 + 24
≈ -10.99 + 24
≈ 13.01
f(-2.5) = 10*(-2.5) - 10ln(-2.5+3) + 24
= -25 - 10ln(0.5) + 24
≈ -25 - 10*(-0.693) + 24
≈ -25 + 6.93 + 24
≈ -18.07 + 24
≈ 5.93
3. Таким образом, нам необходимо сравнить значения функции f(x) при x = -2, x = -2.5 и x = 0. Наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке [-2.5; 0].
Окончательно, наименьшее значение функции f(x) = 10x - 10ln(x+3) + 24 на отрезке [-2.5; 0] будет при x = -2.5 и равно 5.93.