сначала применим к правой части формулу приведения:
cos 2x = -cos x
cos 2x + cos x = 0
2cos²x - 1 + cos x = 0
Пусть cos x = t, причём |t| ≤ 1
2t² + t - 1 = 0
D = 1 + 8 = 9
t1 = (-1 - 3) / 4 = -1
t2 = (-1 + 3) / 4 = 1/2
cos x = -1 или cos x = 1/2
x = π + 2πn,n∈Z x = ±arccos 1/2 + 2πk,k∈Z
x = ±π/3 + 2πk,k∈Z
Данные решения могут совпадать, что разумеется нам не надо, поскольку тогда придётся писать что-то одно. В данном случае не совпадают, и это хорошо видно по числовой окружности, нанеся на неё точки π/3 и π видно, что решения никогда не наложатся одно на другое.
Поэтому, произведём отбор корней по обоим формулам.
Отберём корни из первого решения. Для этого впихнём данное решение в указанный промежуток и решим двойное неравенство относительно n:
3π/2 ≤ π + 2πn ≤ 5π/2
π/2 ≤ 2πn ≤ 3π/2
Разделим на 2п:
1/4 ≤n≤ 3/4
Видим, что никаких целых n нет на данном интервале. Значит, данное решение мы отбрасываем.
Осталось второе решение.
Также вобьём его в указанный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно k, но разобъём данное объединённое решение ещё на два и провернём с каждым подобную операцию:
3π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ 5π/2
7π/6 ≤ 2πk ≤ 13π/6
Разделим данное неравенство на 2π:
7/12 ≤ k ≤ 13/12
Замечаем, что на данном промежутке единственное целое значение k - это k = 1. Подставив его в общую формулу вместо k, получим тот самый корень, который нам требуется:
k = 1 x = π/3 + 2π = 7π/3 - это нужный отобранный корень
Теперь проверим. есть ли ещё такие корни.
Для этого впихнём в данный промежуток второй вариант решения ±π/3 + 2πk, это -π/3 + 2πk:
3π/2 ≤ -π/3 + 2πk ≤ 5π/2
11π/6 ≤ 2πk ≤ 17π/6
11/12 ≤ k ≤ 17/12
По неравенству видно, что есть опять же только единственное значение k - это 1. Подставив его в эту формулу получим наш второй корень:
k = 1 x = -π/3 + 2π = 5π/3
Таким образом, ответ пишем таким образом:
а)π + 2πn,n∈Z; ±π/3 + 2πk,k∈Z
б)7π/3; 5π/3
Под буквой б - наши отобранные корни на заданном промежутке. Задача выполнена.
Всего было n школьников. За 1 час они обработали 30n работ. Через 1 час x школьников ушли домой. Осталось (n-x) школьников. За второй час они обработали 30(n-x) работ, а за 0,5 ч - 15(n-x). За первые 1,5 часа они обработали 30n + 15(n-x) = 45n - 15x работ. Пока просто запомним это, хотя посчитать мы еще не можем. Через 2 часа ушло еще x школьников. Осталось (n-2x) школьников. За третий час они обработали 30*(n-2x) работ. И снова ушло x школьников. Осталось (n-3x) школьников. И они закончили за 10 мин = 1/6 ч, а обработали 30/6*(n-3x) = 5n - 15x. Всего за 3 ч 10 мин они обработали 1775 работ. 30n + 30(n-x) + 30(n-2x) + 5n - 15x = 1775 95n - 105x = 1775 Делим на 5 19n - 21x = 355 n = (355 + 21x)/19 = 18 + x + (13 + 2x)/19 Чтобы n было целым, нужно, чтобы 13 + 2x делилось на 19. x = 3; n = 18 + 3 + 1 = 22 - подходит для количества учеников. x = 22; n = 18 + 22 + 3 = 53 - слишком много. Таким образом, всего было 22 ученика, каждый час уходило 3. За первые 1,5 часа они сделали 45n - 15x = 45*22 - 15*3 = 945 работ.
сначала применим к правой части формулу приведения:
cos 2x = -cos x
cos 2x + cos x = 0
2cos²x - 1 + cos x = 0
Пусть cos x = t, причём |t| ≤ 1
2t² + t - 1 = 0
D = 1 + 8 = 9
t1 = (-1 - 3) / 4 = -1
t2 = (-1 + 3) / 4 = 1/2
cos x = -1 или cos x = 1/2
x = π + 2πn,n∈Z x = ±arccos 1/2 + 2πk,k∈Z
x = ±π/3 + 2πk,k∈Z
Данные решения могут совпадать, что разумеется нам не надо, поскольку тогда придётся писать что-то одно. В данном случае не совпадают, и это хорошо видно по числовой окружности, нанеся на неё точки π/3 и π видно, что решения никогда не наложатся одно на другое.
Поэтому, произведём отбор корней по обоим формулам.
Отберём корни из первого решения. Для этого впихнём данное решение в указанный промежуток и решим двойное неравенство относительно n:
3π/2 ≤ π + 2πn ≤ 5π/2
π/2 ≤ 2πn ≤ 3π/2
Разделим на 2п:
1/4 ≤n≤ 3/4
Видим, что никаких целых n нет на данном интервале. Значит, данное решение мы отбрасываем.
Осталось второе решение.
Также вобьём его в указанный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно k, но разобъём данное объединённое решение ещё на два и провернём с каждым подобную операцию:
3π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ 5π/2
7π/6 ≤ 2πk ≤ 13π/6
Разделим данное неравенство на 2π:
7/12 ≤ k ≤ 13/12
Замечаем, что на данном промежутке единственное целое значение k - это k = 1. Подставив его в общую формулу вместо k, получим тот самый корень, который нам требуется:
k = 1 x = π/3 + 2π = 7π/3 - это нужный отобранный корень
Теперь проверим. есть ли ещё такие корни.
Для этого впихнём в данный промежуток второй вариант решения ±π/3 + 2πk, это -π/3 + 2πk:
3π/2 ≤ -π/3 + 2πk ≤ 5π/2
11π/6 ≤ 2πk ≤ 17π/6
11/12 ≤ k ≤ 17/12
По неравенству видно, что есть опять же только единственное значение k - это 1. Подставив его в эту формулу получим наш второй корень:
k = 1 x = -π/3 + 2π = 5π/3
Таким образом, ответ пишем таким образом:
а)π + 2πn,n∈Z; ±π/3 + 2πk,k∈Z
б)7π/3; 5π/3
Под буквой б - наши отобранные корни на заданном промежутке. Задача выполнена.