Question

Найти объём тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности x^2+y^2=25 и прямых 3x-4y=0, x=0, вокруг оси oy.

Answer 1

Найдем точки пересечения прямой и окружности:

$\left \{ {{x^2+y^2=25} \atop {3x-4y=0}} \right.$ 

$\left \{ {{y=\frac{3}{4}x} \atop {x^2+\frac{9}{16}x^2=25}} \right.$ 

x = +/-4

Найдем точки пересечения дуги окружности и оси ОХ:

$\left \{ {{y=0} \atop {x^2+y^2=25}} \right.$ 

x = +/-5

Объем тела вращения будет вычисляться как интеграл в пределах [-5;4] (исходя из рисунка)

$V_y = 2\pi\int\limits^a_b {x*(y_1-y_2)} \, dx$ 

$V_y = 2\pi\int\limits^{4}_{-5} {x(\frac{3}{4}x-\sqrt{25-x^2})} \, dx = 2\pi(\frac{3}{4}\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx-\int\limits^{4}_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx)$

$\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3}|_{-5}^4 = \frac{4^3}{3} + \frac{5^3}{3}=\frac{189}{3}$ 

$\int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx$ 

Замена:

u = 25-x^2

du = -2xdx

xdx = -0.5du

u1 = 25-x1^2 = 25-25 = 0

u2 = 25-x2^2 = 25-16 = 9

$\int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2}\int\limits^9_0 {\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_0^9 = -\frac{1}{3}\sqrt{u^3}|_0^9 = -\frac{1}{3}3^3 = -9$ 

$V_y = 2\pi(\frac{3}{4}*\frac{189}{3}-(-9)) = 2\pi*56.25=112.5\pi$