Основная теорема алгебры. Уравнение n-го степеня имеет n корней. Иными словами: каков старший степень - столько и корней (действительные и комплексные)
Решим к примеру 
уравнение в действительных корнях.
Рассмотрим функцию 
. Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой.
Также рассмотрим правую часть уравнения: функцию 
. Графиком линейной функции является прямой, проходящей через точки (0;6), (-6;0).
графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень и 6 комплексно-сопряженные корни.
Возьмем теперь к примеру уравнение 
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корня.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равные корни.
Если D<0, то квадратное уравнение действительных корня не имеет, но имеет два комплексно сопряженных корня.
Объяснение:
1)
x³+x²+x+6=0
x³+x²+x²-x²+x+6=0
x³+2x²-(x²-x-6)=0
x²*(x+2)-(x²-x+3x-3x-6)=0
x²*(x+2)-(x²+2x-3x-6)=0
x²*(x+2)-(x*(x+2)-3*(x+2))=0
x²*(x+2)-(x+2)*(x-3)=0
(x+2)*(x²-(x-3))=0
x+2=0
x₁=-2.
x²-x+3=0 D=-11 ⇒ Уравнение не имеет действительных корней.
ответ: х=-2.
2)
x⁴+2x³-3x²-4x+4=0
x²*(x²+2x-3)-4*(x-1)=0
x²*(x²+2x-3x+3x-3)-4*(x-1)=0
x²*(x²-x+3*(x-1))-4*(x-1)=0
x²*(x*(x-1)+3*(x-1))-4*(x-1)=0
x²*(x-1)*(x+3)-4*(x-1)=0
(x-1)*(x²*(x+3)-4)=0
x-1=0
x₁=1.
x³+3x²-4=0
x³+2x²+x²-4=0
x²*(x+2)+(x+2)*(x-2)==
(x+2)*(x²+x-2)=0
x+2=0
x₂=-2.
x²+x-2=0 D=9 √D=3
x₃=-2 x₄=1.
ответ: x₁=1 x₂=-2.