Question

Докажите тождество:

(cos5a+cosa)/-2sin3a=-sin2a

Answer 1

1+sin2a=cos^2a+sin^2a+2sinacosa=(cosa+ sina)^2; cos2a=cos^2a-sin^2a=(cosa-sina) (cosa+sina). получаем: (cosa+sina)^2/(cosa-sina) (cosatsina)=(cosatsina) /(cosa-sina). учитывая, что от перестановки слагаемых сумма не меняется , получаем: (sina+cosa)/(cosa-sina). тождество доказано!!

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся некоторыми тригонометрическими формулами и свойствами тригонометрических функций.

Начнем с левой части уравнения:
(cos5a + cosa) / -2sin3a

Сначала раскроем скобки:
cos5a / -2sin3a + cosa / -2sin3a

Затем воспользуемся формулой двойного угла для синуса:
cos2a = 1 - 2sin^2(a)

Подставим это выражение вместо sin3a:
cos5a / -2(1 - 2sin^2(a)) + cosa / -2(1 - 2sin^2(a))

Раскроем скобки:
cos5a / -2 + 2sin^2a + cosa / -2 + 2sin^2a

Заметим, что у нас есть две группы, каждая из которых содержит синусы. Приведем их в общий знаменатель:
(cos5a + cosa - 4sin^2a) / -2

Теперь применим формулу выражения cos^2(x) через синусы:
1 - sin^2(x) = cos^2(x)

Подставим это выражение в наше уравнение:
(cos5a + cosa - 4(1 - cos^2a)) / -2

Упростим:
(cos5a + cosa - 4 + 4cos^2a) / -2

Сгруппируем слагаемые:
(cos5a + 4cos^2a + cosa - 4) / -2

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:
cos2a = 2cos^2(a) - 1

Подставим это выражение в наше уравнение:
(cos5a + 2cos^2a + 1cosa - 4) / -2

Упростим:
(cos5a + cosa - 2) / -2

Мы получили правую часть уравнения -sin2a.

Таким образом, мы доказали тождество:
(cos5a + cosa) / -2sin3a = -sin2a