1) Чтобы найти первообразную функции f(x) = x^6 + 3x^2, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна данной функции.
Для этого мы будем использовать формулу для нахождения первообразной функции, основанную на основных правилах дифференцирования:
∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,
где n ≠ -1 и C - произвольная постоянная.
Применяя эту формулу, мы находим первообразную для каждого слагаемого функции:
∫(x^6) dx = (x^7)/7 + C1,
∫(3x^2) dx = 3(x^3)/3 + C2.
Замечаем, что вторая первообразная можно упростить:
3(x^3)/3 = x^3.
Таким образом, первообразная для данной функции будет:
F(x) = (x^7)/7 + x^3 + C,
где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.
2) Чтобы найти первообразную функции f(x) = 2cos(x), которая проходит через точку А(0;1), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна заданной функции и значение которой в точке x=0 равно 1.
Найдем первообразную функции 2cos(x) с помощью интеграла:
∫2cos(x) dx = 2∫cos(x) dx.
Интеграл от cos(x) равен sin(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная.
Поэтому:
2∫cos(x) dx = 2(sin(x) + C1),
где C1 - произвольная постоянная.
Теперь мы должны выбрать значение постоянной C1 так, чтобы F(0) = 1.
Подставим x=0 в выражение 2(sin(x) + C1):
2(sin(0) + C1) = 2(0 + C1) = 2C1.
Мы хотим, чтобы это было равно 1, поэтому:
2C1 = 1.
C1 = 1/2.
Таким образом, первообразная функции f(x) = 2cos(x), которая проходит через точку А(0;1), будет:
F(x) = 2(sin(x) + 1/2).
Это решение удовлетворяет условиям задачи: производная F(x) равна исходной функции f(x), а значение F(0) равно 1.
Для решения этой задачи нужно знать, что означает "мод 8". "мод 8" (читается "по модулю 8") означает остаток от деления числа на 8.
Дано: м = -2 (мод 8), н = -5 (мод 8)
1. Найдем значение выражения 2н - 3м:
Заменяем м на его значение по модулю 8: м = -2 (мод 8), будем считать, что м = 6 (так как -2 + 8 = 6)
Заменяем н на его значение по модулю 8: н = -5 (мод 8), будем считать, что н = 3 (так как -5 + 8 = 3)
Теперь подставляем значения в выражение: 2 * 3 - 3 * 6 = 6 - 18 = -12
Найдем остаток от деления -12 на 8: -12 = -8 + (-4), поэтому остаток равен -4.
2. Найдем значение выражения мн:
Заменяем м на его значение по модулю 8: м = -2 (мод 8), будем считать, что м = 6 (так как -2 + 8 = 6)
Заменяем н на его значение по модулю 8: н = -5 (мод 8), будем считать, что н = 3 (так как -5 + 8 = 3)
Теперь подставляем значения в выражение: 6 * 3 = 18
Найдем остаток от деления 18 на 8: 18 = 16 + 2, поэтому остаток равен 2.
3. Найдем значение выражения н^2 (н в квадрате):
Заменяем н на его значение по модулю 8: н = -5 (мод 8), будем считать, что н = 3 (так как -5 + 8 = 3)
Теперь возводим значение н в квадрат: 3^2 = 9
Найдем остаток от деления 9 на 8: 9 = 8 + 1, поэтому остаток равен 1.
Итак, ответы на задачи:
1) Остаток при делении 2н-3м на 8 равен -4.
2) Остаток при делении мн на 8 равен 2.
3) Остаток при делении н^2 на 8 равен 1.
Вроде бы только последнее