Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать знание о том, что касательная имеет одну общую точку с графиком функции. Это означает, что для нахождения этой точки, мы должны найти значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям.
Итак, у нас есть уравнения:
y = 4x + 6 (уравнение прямой)
y = 2x² + 16x + c (уравнение функции)
Мы знаем, что касательная имеет общую точку с графиком функции, поэтому значения x и y должны быть одинаковыми для обоих уравнений. Мы можем использовать это знание для нахождения c.
1. Найдем значение x, которое соответствует точке пересечения прямой и графика функции.
4x + 6 = 2x² + 16x + c (заменяем y в уравнении прямой на выражение y из уравнения функции)
0 = 2x² + 12x + c (-4x и -6 с обеих сторон уравнения)
2x² + 12x + c = 0 (переписываем уравнение в виде квадратного трехчлена)
2(x² + 6x) + c = 0 (факторизуем коэффициент 2)
2(x(x + 6) + c) = 0 (факторизуем выражение в скобках)
Таким образом, у нас есть уравнение x(x + 6) + c = 0. Из этого уравнения мы можем найти значения x, для которых оно равно нулю.
2. Решим уравнение x(x + 6) + c = 0.
x(x + 6) + c = 0 (раскрываем скобки)
x² + 6x + c = 0 (переписываем уравнение в стандартной форме)
Теперь, чтобы использовать информацию о том, что прямая является касательной, мы знаем, что уравнение x(x + 6) + c = 0 имеет только один корень. Когда у квадратного уравнения есть только один корень, это означает, что дискриминант равен нулю.
3. Найдем значение дискриминанта и используем его для нахождения c.
Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты данного уравнения.
В нашем случае:
a = 1 (коэффициент при x²)
b = 6 (коэффициент при x)
c = c (изначально неизвестный коэффициент, который мы хотим найти)
D = (6)² - 4(1)(c) (подставляем значения a, b и c в формулу)
D = 36 - 4c (упрощаем выражение)
Мы знаем, что квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю. Поэтому мы можем приравнять D к нулю и решить уравнение:
0 = 36 - 4c (приравниваем D к нулю)
4c = 36 (переносим -4c на другую сторону уравнения)
c = 9 (делаем x коэффициентом)
Таким образом, найденное значение c равно 9. Подставляя это значение обратно в уравнение функции y = 2x² + 16x + c, мы можем получить полное уравнение функции.
Итак, у нас есть уравнения:
y = 4x + 6 (уравнение прямой)
y = 2x² + 16x + c (уравнение функции)
Мы знаем, что касательная имеет общую точку с графиком функции, поэтому значения x и y должны быть одинаковыми для обоих уравнений. Мы можем использовать это знание для нахождения c.
1. Найдем значение x, которое соответствует точке пересечения прямой и графика функции.
4x + 6 = 2x² + 16x + c (заменяем y в уравнении прямой на выражение y из уравнения функции)
0 = 2x² + 12x + c (-4x и -6 с обеих сторон уравнения)
2x² + 12x + c = 0 (переписываем уравнение в виде квадратного трехчлена)
2(x² + 6x) + c = 0 (факторизуем коэффициент 2)
2(x(x + 6) + c) = 0 (факторизуем выражение в скобках)
Таким образом, у нас есть уравнение x(x + 6) + c = 0. Из этого уравнения мы можем найти значения x, для которых оно равно нулю.
2. Решим уравнение x(x + 6) + c = 0.
x(x + 6) + c = 0 (раскрываем скобки)
x² + 6x + c = 0 (переписываем уравнение в стандартной форме)
Теперь, чтобы использовать информацию о том, что прямая является касательной, мы знаем, что уравнение x(x + 6) + c = 0 имеет только один корень. Когда у квадратного уравнения есть только один корень, это означает, что дискриминант равен нулю.
3. Найдем значение дискриминанта и используем его для нахождения c.
Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты данного уравнения.
В нашем случае:
a = 1 (коэффициент при x²)
b = 6 (коэффициент при x)
c = c (изначально неизвестный коэффициент, который мы хотим найти)
D = (6)² - 4(1)(c) (подставляем значения a, b и c в формулу)
D = 36 - 4c (упрощаем выражение)
Мы знаем, что квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю. Поэтому мы можем приравнять D к нулю и решить уравнение:
0 = 36 - 4c (приравниваем D к нулю)
4c = 36 (переносим -4c на другую сторону уравнения)
c = 9 (делаем x коэффициентом)
Таким образом, найденное значение c равно 9. Подставляя это значение обратно в уравнение функции y = 2x² + 16x + c, мы можем получить полное уравнение функции.