Мы видим так называемую симметрическую систему уравнений(при замене переменных друг на друг, система не изменится. Для такой системы есть стандартная замена xy=t, x+y=k
, тогда перепишем как. Теперь нужно представить уравнение в первой строке системы через новые переменные, для этого попробуем выделить полный квадрат, x²+y² из этой суммы можно получить 2 вида квадрата, квадрат суммы и квадрат разности, нам выгодно сделать сумму, тогда добавим 2xy, но чтобы ничего не изменилось вычтем 2xy. Тогда (x²+2xy+y²)-2xy=5. Свернем (x+y)²-2xy=5. Теперь мы видим наши замены в чистом виде 1-ая строка = k²-2t=5.
. Теперь перейдем к следующему. из второго уравнения вычтем t из обеих частей, тогда k=5-t. и подставим это значение k в первое.
Расскроем скобки, t²-10t+25-2t-5=0
t²-12t+20=0. Получили квадратное уравнение, которое решаем любым удобным (для меня Т. обратная Т.Виета)
t=10 или t=2. удобнее записать так =10 =2, отсюда найдем
=5-=5-10=-5, =5-=5-2=3.
Теперь обратные замены в 2 системы
. опять замена), x=-5-y., -5y-y²=10,y²+5y+10=0, D=25-40,эта система решений не имеет( на множестве действительных чисел)
. Опять замена x=3-y. 3y-y²=2, y²-3y+2,тогда =2,=1. Тогда =1,=2. Что не удивительно, т.к. в симметрических системах достаточно получить ответ лишь для одной переменной и просто поменять местами с другой, но мы в этом, так сказать, убедились.
Решение: Обозначим длину прямоугольника за х, а ширину за у, тогда согласно условия задачи зная формулу площади прямоугольника: S=a*b,где а-длина, а в -ширина прямоугольника, составим систему уравнений: х-у=3 (х-2)*(у+4)-х*у=8 х-2- площадь прямоугольника до измения длины и ширины, а (х-2*)*(у+4) -площадь прямоугольника при изменения его длины и ширины Решим систему уравнений, из первого уравнения х=3+у Подставим во второе уравнение данное х (3+у-2)*(у+4)-(3+у)*у=8 (1+у)*(у+4)-3у-у^2=8 у+y^2+4+4y-3y-y^2=8 2y=8-4 2y=4 y=2, тогда х=3+2=5 Первоначальная площадь прямоугольника равна 5*2=10 ответ: 10см^2
(1;2) (2;1)
Объяснение:
Мы видим так называемую симметрическую систему уравнений(при замене переменных друг на друг, система не изменится. Для такой системы есть стандартная замена xy=t, x+y=k
, тогда
перепишем как
. Теперь нужно представить уравнение в первой строке системы через новые переменные, для этого попробуем выделить полный квадрат, x²+y² из этой суммы можно получить 2 вида квадрата, квадрат суммы и квадрат разности, нам выгодно сделать сумму, тогда добавим 2xy, но чтобы ничего не изменилось вычтем 2xy. Тогда (x²+2xy+y²)-2xy=5. Свернем (x+y)²-2xy=5. Теперь мы видим наши замены в чистом виде 1-ая строка = k²-2t=5.
t²-12t+20=0. Получили квадратное уравнение, которое решаем любым удобным (для меня Т. обратная Т.Виета)
t=10 или t=2. удобнее записать так
=10 
=2, отсюда найдем 
Теперь обратные замены в 2 системы
ответ 2 пары чисел (1;2) (2;1)