Хорошо, давайте решим данный математический пример шаг за шагом.
Итак, у нас есть следующее уравнение:
√(x+8) - √(x-8) = 2
Для начала, возведем обе части уравнения в четвертую степень. Это позволит нам избавиться от корней и упростить уравнение. Также, когда мы будем возводить каждый корень в 4-ую степень, мы получим два выражения:
Теперь разделим обе части уравнения на 32, чтобы найти значение переменной x:
x = 16 / 32
x = 1/2
Таким образом, значение x равно 1/2.
Однако, нам нужно проверить, удовлетворяет ли эта точка исходному уравнению. Подставим x = 1/2 обратно в исходное уравнение:
√(1/2 + 8) - √(1/2 - 8) = 2
√(65/2) - √(-15/2) = 2
Видим, что мы имеем корень из отрицательного числа, что невозможно в области вещественных чисел. Таким образом, x = 1/2 не является решением исходного уравнения.
Теперь вернемся к уравнению без раскрытых скобок:
(x+8)^2 - (x-8)^2 = 16
Сделаем преобразования по формуле разности квадратов, которая гласит: (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b).
((x+8) + (x-8))((x+8) - (x-8)) = 16
Сразу видим, что скобки второй пары сократятся:
(2x + 16)(16) = 16
Теперь разделим обе части на 16:
2x + 16 = 1
2x = 1 - 16
2x = -15
x = -15 / 2
Итак, решением данного уравнения является x = -15/2 или -7.5.
Таким образом, правильным ответом на данный вопрос является x = -7.5, а не 8.
Добро пожаловать в наш урок, где мы будем решать задачу на нахождение площади фигуры.
Итак, у нас есть фигура, ограниченная осью абсцисс (ось x) и двумя линиями: y = 1/x^2, x = 1/2 и x = 1/3. Наша задача - найти площадь этой фигуры.
Первым шагом мы будем рассматривать графики этих линий, чтобы визуально определить форму фигуры.
Давайте начнем с графика функции y = 1/x^2. Эта функция является гиперболой, которая симметрично падает вниз и проходит через точку (1, 1).
Построим график этой функции в координатной плоскости. Мы знаем, что когда x приближается к нулю, значение функции становится очень большим. Также, когда x становится отрицательным, значение функции также становится отрицательным.
Теперь построим линии x = 1/2 и x = 1/3 на том же графике. Когда x = 1/2, точка на графике будет находиться на половине расстояния между осью абсцисс и графиком функции y = 1/x^2. Аналогично, когда x = 1/3, точка будет на трети расстояния между этими двумя линиями.
Теперь у нас есть визуальное представление о форме фигуры. Однако, нам нужно найти площадь этой фигуры, чтобы дать точный ответ.
Для нахождения площади мы будем использовать интегралы. Итак, мы должны разбить фигуру на более маленькие элементы и вычислить интеграл от каждого элемента. Затем мы просуммируем все эти интегралы, чтобы получить общую площадь фигуры.
Давайте начнем с разбиения фигуры на элементы. Мы видим, что фигура ограничена линиями x = 1/2 и x = 1/3. Когда x движется от 1/3 до 1/2, он ограничивает вертикальные "полоски".
Для нахождения площади каждой полоски мы вычислим разность между значениями функции y = 1/x^2 при x = 1/2 и x = 1/3. То есть, мы должны найти значение функции в этих точках и вычесть меньшее значение из большего.
Предлагаю вычислить значения функции y = 1/x^2 при x = 1/2 и x = 1/3:
При x = 1/2: y = 1/(1/2)^2 = 1/(1/4) = 4
При x = 1/3: y = 1/(1/3)^2 = 1/(1/9) = 9
Теперь мы знаем, что значение функции при x = 1/2 равно 4, а при x = 1/3 равно 9. Мы будем вычитать 4 из 9 для каждой полоски.
Теперь нам нужно узнать, какие значения x будут нашими пределами интегрирования. Мы видим, что фигура ограничена линиями x = 1/2 и x = 1/3. Таким образом, пределы интегрирования будут от 1/3 до 1/2.
Тогда формула для нахождения площади фигуры будет следующей:
S = ∫[1/3, 1/2] (9 - 4)dx
Теперь нам нужно решить этот интеграл. Интеграл ∫(9 - 4)dx можно упростить, так как 9 - 4 = 5 является постоянным значением.
Таким образом, мы можем записать:
S = 5 ∫[1/3, 1/2] dx
Для решения этого интеграла мы можем использовать формулу интеграла от постоянной функции:
∫[a, b] cdx = c(b - a),
где c - постоянное значение и [a, b] - пределы интегрирования.
Применим эту формулу к нашему интегралу:
S = 5 (1/2 - 1/3)
Теперь мы можем вычислить это выражение:
S = 5 (3/6 - 2/6) = 5 (1/6) = 5/6
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями y = 1/x^2, x = 1/2 и x = 1/3, равна 5/6 или, в десятичной записи, около 0.833.
Надеюсь, что этот подробный и обстоятельный ответ помог разобраться в решении этой задачи. Если есть какие-либо вопросы, не стесняйся задавать!
Итак, у нас есть следующее уравнение:
√(x+8) - √(x-8) = 2
Для начала, возведем обе части уравнения в четвертую степень. Это позволит нам избавиться от корней и упростить уравнение. Также, когда мы будем возводить каждый корень в 4-ую степень, мы получим два выражения:
(√(x+8))^4 - (√(x-8))^4 = 2^4
Теперь вычислим каждую часть отдельно:
(√(x+8))^4 = (x+8)^(4/2) = (x+8)^2
(√(x-8))^4 = (x-8)^(4/2) = (x-8)^2
Таким образом, наше уравнение становится:
(x+8)^2 - (x-8)^2 = 2^4
Далее, раскроем скобки по формуле (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
x^2 + 16x + 64 - (x^2 - 16x + 64) = 16
Теперь объединим подобные члены:
x^2 + 16x + 64 - x^2 + 16x - 64 = 16
Заметим, что многие члены сокращаются:
32x = 16
Теперь разделим обе части уравнения на 32, чтобы найти значение переменной x:
x = 16 / 32
x = 1/2
Таким образом, значение x равно 1/2.
Однако, нам нужно проверить, удовлетворяет ли эта точка исходному уравнению. Подставим x = 1/2 обратно в исходное уравнение:
√(1/2 + 8) - √(1/2 - 8) = 2
√(65/2) - √(-15/2) = 2
Видим, что мы имеем корень из отрицательного числа, что невозможно в области вещественных чисел. Таким образом, x = 1/2 не является решением исходного уравнения.
Теперь вернемся к уравнению без раскрытых скобок:
(x+8)^2 - (x-8)^2 = 16
Сделаем преобразования по формуле разности квадратов, которая гласит: (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b).
((x+8) + (x-8))((x+8) - (x-8)) = 16
Сразу видим, что скобки второй пары сократятся:
(2x + 16)(16) = 16
Теперь разделим обе части на 16:
2x + 16 = 1
2x = 1 - 16
2x = -15
x = -15 / 2
Итак, решением данного уравнения является x = -15/2 или -7.5.
Таким образом, правильным ответом на данный вопрос является x = -7.5, а не 8.