1) Вспомним, что такое модуль |x| = x при х≥ 0 |x| = -x при х<0 2)Ищем корни выражения, стоящего под знаком модуля х² - х - 3 = 0 по т. Виета х= 1 +- √12= 1 +- 2√3 3) уравнение запишем: |x² -x -3| = -1-х Понятно, что -1 -х ≥ 0⇒ -х ≥ 1⇒ х ≤ -1 вывод: наше уравнение надо рассматривать на промежутке х ≤ -1 4) посмотрим какая картина на числовой прямой -∞ 1 - 2√3 -1 1 + 2√3 +∞ Это промежуток, на котором уравнение имеет смысл промежуток, где х² - х - 3 ≥0 это промежуток, где х² - х - 3 ≤ 0 5) Рассматриваем уравнение на участке (-∞;1 - 2√3] и на участке [1 - 2√3; -1] 6)a)(-∞;1 - 2√3] x² - x - 3 = -1 - x x²= 2 x = +-√2( в указанный промежуток не попали) б)[1 - 2√3; 1] -x² + x + 3 = - 1 - x -x² + 2x +4 = 0 x² - 2x - 4 = 0 х = 1 +-√1 + 4= 1 +- √5 из этих двух корней в указанный промежуток попал х = 1 - √5 7)ответ: х = 1 - √5
Пусть p>1 общий делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k Разложим k^4 + 12 * k^2 +12 = k (k^3 + 9k) + 3*k^2 + 12 Так как p делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k, то p должно быть делителем и 3*k^2 + 12. То есть p делитель k^3+9k и 3*k^2 + 12. Далее, заметим, что p = 3 подходит. При p = 3, существует k = 3, при котором выполняется условие задачи. Если p простое и не равно 3, то можно поделить второе число на 3 (p делитель 3*k^2 + 12 и p<>3, следовательно p делитель k^2+4). Получим, что p делитель k^3+9k и k^2 + 4. Разложим k^3+9k = k (k^2+4) + 5k Так как p делитель k^3+9k и k^2 + 4, то p делитель и 5k. Значит, p общий делитель 5k и k^2+4. Заметим, что p = 5 подходит. При p = 5, k =1 и выполняется условие задачи. Если p простое и не равно 5, то т.к. p делитель 5k, то p делитель k. Тогда p - делитель k и k^2+4. Аналогично раскладываем k^2 + 4 = k* k + 4. Отсюда следует, что p должно быть делителем 4. То есть p может равняться 2. При p=2, k=2 условие задачи выполнено. После очередного разложения у нас осталось два числа k и 4. Общий простой делитель p=2 мы уже рассмотрели.
Итак, всего есть три простых p: p=5, p=3, p = 2. Тогда ответ: наибольшее простое p = 5.
|x| = x при х≥ 0
|x| = -x при х<0
2)Ищем корни выражения, стоящего под знаком модуля
х² - х - 3 = 0
по т. Виета х= 1 +- √12= 1 +- 2√3
3) уравнение запишем: |x² -x -3| = -1-х
Понятно, что -1 -х ≥ 0⇒ -х ≥ 1⇒ х ≤ -1
вывод: наше уравнение надо рассматривать на промежутке х ≤ -1
4) посмотрим какая картина на числовой прямой
-∞ 1 - 2√3 -1 1 + 2√3 +∞
Это промежуток, на котором уравнение имеет смысл
промежуток, где
х² - х - 3 ≥0
это промежуток,
где х² - х - 3 ≤ 0
5) Рассматриваем уравнение на участке (-∞;1 - 2√3] и на участке [1 - 2√3; -1]
6)a)(-∞;1 - 2√3]
x² - x - 3 = -1 - x
x²= 2
x = +-√2( в указанный промежуток не попали)
б)[1 - 2√3; 1]
-x² + x + 3 = - 1 - x
-x² + 2x +4 = 0
x² - 2x - 4 = 0
х = 1 +-√1 + 4= 1 +- √5
из этих двух корней в указанный промежуток попал х = 1 - √5
7)ответ: х = 1 - √5