Объяснение:
cos(π/3+x) - 0,5√3cos(x-π) = -1/4
По формулам:
cos(π/3+x) = cos(π/3)*cos x - sin(π/3)*sin x = 1/2*cos x - √3/2*sin x
0,5√3*cos(x-π) = √3/2*(-cos x) = -√3/2*cos x
Подставляем в уравнение
1/2*cos x - √3/2*sin x + √3/2*cos x = -1/4
Умножаем всё на 4 и переносим 1/4 налево
2cos x - 2√3*sin x + 2√3*cos x + 1 = 0
(2+2√3)*cos x - 2√3*sin x + 1 = 0
Переводим всё в половинный аргумент
(2+2√3)(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 2√3*2sin(x/2)*cos(x/2) + cos^2(x/2) + sin^2(x/2) = 0
(2+2√3+1)*cos^2(x/2) - 4√3*sin(x/2)*cos(x/2) + (1-2-2√3)*sin^2(x/2) = 0
Делим всё на cos^2(x/2)
(3+2√3) - 4√3*tg(x/2) + (-1-2√3)*tg^2(x/2) = 0
Замена tg (x/2) = y. Получаем квадратное уравнение.
Умножаем всё на -1
(1+2√3)*y^2 + 4√3*y - (3+2√3) = 0
D/4 = (2√3)^2 + (1+2√3)(3+2√3) = 4*3 + (3+8√3+12) = 27 + 8√3
Далее решаем и получаем ответ.
Писать это все у меня сейчас времени нет.
Потом
x = 2arctg(y)
Вначале необходимо найти производную и приравнять ее к 0 для нахождения экстремумов:
y' = (6cosx)' = -6*sinx = 0, sinx=0, x=pi/2 + pi*k
Дан промежуток [-pi/2; 0], необходимо определить, какие именно точки из множества решений попадают в него:
k=-1, x=pi/2-pi=-pi/2 - принадлежит промежутку
Является ли х=-pi/2 - экстремумом? - посчитать знак производной ДО и ПОСЛЕ этой точки: производная меняет свой знак с плюса на минус: х=-pi/2 - максимум функции.
На [-pi/2; 0] функция убывает, значит наибольшее значение y(-pi/2)=0, наименьшее значение y(0)=6