Question

Определи корни данного уравнения:
√3+tgx/1−√3*tgx=1
— из интервала значений
x∈[−π;2π].
сколько всего таких корней-?
наименьший корень x=?π/?
наибольший корень х=?π/?

Answer 1

Для определения корней данного уравнения, мы должны следовать определенному порядку действий.

1. Заданное уравнение имеет вид: √3+tgx/1−√3*tgx=1

2. Для начала, давайте приведем данное уравнение к общему знаменателю. В знаменатель добавим √3*tgx:

(√3 + tgx) / (1 - √3*tgx) = 1
(√3 + tgx) / (1 - √3*tgx) - 1 = 0

3. Распределим разность:

(√3 + tgx - (1 - √3*tgx)) / (1 - √3*tgx) = 0
(√3 + tgx - 1 + √3*tgx) / (1 - √3*tgx) = 0

4. Сгруппируем слагаемые в числителе:

(√3 - 1) + (tgx + √3*tgx) / (1 - √3*tgx) = 0

5. Далее, приведем числитель уравнения к общему знаменателю:

(√3 - 1)(1 - √3*tgx) + (tgx + √3*tgx) = 0

6. Раскроем скобки:

(√3 - 1 - √3*tgx + √3*tgx - √12*tgx^2) + (tgx + √3*tgx) = 0

7. Упростим строку:

√3 - 1 - √12*tgx^2 + 2*tgx = 0

√3 - 1 + 2*tgx - √12*tgx^2 = 0

8. После этого, данное уравнение можно представить в виде квадратного уравнения вида:

ax^2 + bx + c = 0

Где a = -√12, b = 2, c = √3 - 1

9. Чтобы решить квадратное уравнение, нам понадобится использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

В данном случае:

D = (2)^2 - 4*(-√12)*(√3 - 1)

10. Теперь подставим значения в формулу дискриминанта:

D = 4 + 4√12(√3 - 1)

11. Упростим данное выражение:

D = 4 + 4√36 - 4√12
D = 4 + 24 - 8√3
D = 28 - 8√3

12. Далее, мы можем определить количество корней с помощью значения дискриминанта:

a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
b) Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
c) Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

13. Вычислим значение дискриминанта:

D = 28 - 8√3 > 0

Получается, что D > 0, следовательно, у уравнения будет два различных корня.

14. Чтобы найти эти корни, используем формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

В данном случае, a = -√12, b = 2 и D = 28 - 8√3.

15. Подставим значения в формулу для определения корней:

x = (-2 ± √(28 - 8√3)) / (2*(-√12))
x = (-2 ± √(28 - 8√3)) / (-2√12)

(дальше можно сократить на -2 и √12)

x = (1 ± √(7 - 2√3)) / √6
x = (1 ± √(7 - 2√3)) / √6 * (√6/√6)
x = (1 ± √(6(7 - 2√3))) / 6

16. Продолжая вычисления, упростим значения корней:

x = (1 ± √(42 - 12√3)) / 6
x = (1 ± √6(7 - 2√3)) / 6
x = (1 ± √6(√3 - 1)^2) / 6

17. Теперь, чтобы определить значения корней из интервала x∈[−π;2π], мы должны учитывать значения синуса и косинуса тангента x.

18. Разделим найденные корни по пояснениям:

a) При x = 0: значения синуса и косинуса равны sin(0) = 0 и cos(0) = 1. Также, 0 входит в интервал [-π; 2π].

Подставим значение синуса и косинуса в уравнение:

√3 + tg0 / (1 − √3*tg0) = 1

√3 + 0 / (1 − √3 * 0) = 1

√3 + 0 / (1 - 0) = 1

√3 = 1

Данное уравнение не выполняется, так как √3 ≠ 1. Следовательно, x = 0 не является корнем данного уравнения.

b) Теперь рассмотрим второй найденный корень:

x = (1 + √6(√3 - 1)^2) / 6

Для нахождения значений синуса и косинуса tgx, мы должны определить значение x, которое будет удовлетворять условию x∈[−π;2π].

Учитывая, что √6 > 2 и (√3 - 1)^2 > 0, все значения тангента будут положительными.

c) При x = π/2: значения синуса и косинуса равны sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0. Также, π/2 входит в интервал [-π; 2π].

Подставим значение синуса и косинуса в уравнение:

√3 + tg(π/2) / (1 − √3*tg(π/2)) = 1

√3 + (∞) / (1 - ∞) = 1

Данное уравнение не выполняется, так как √3 + (∞) / (1 - ∞) ≠ 1. Следовательно, x = π/2 не является корнем данного уравнения.

d) При x = π: значения синуса и косинуса равны sin(π) = 0 и cos(π) = -1. Также, π входит в интервал [-π; 2π].

Подставим значение синуса и косинуса в уравнение:

√3 + tgπ / (1 − √3*tgπ) = 1

√3 + 0 / (1 - 0) = 1

√3 = 1

Данное уравнение не выполняется, так как √3 ≠ 1. Следовательно, x = π не является корнем данного уравнения.

e) Теперь рассмотрим третий найденный корень:

x = (1 - √6(√3 - 1)^2) / 6

Также, для нахождения значений синуса и косинуса tgx, мы должны определить значение x, которое будет удовлетворять условию x∈[−π;2π].

Учитывая, что √6 > 2 и (√3 - 1)^2 > 0, все значения тангента будут положительными.

Следовательно, x = (1 - √6(√3 - 1)^2) / 6 не является решением данного уравнения.

f) При x = (3π) / 2: значения синуса и косинуса равны sin((3π) / 2) = -1 и cos((3π) / 2) = 0. Также, (3π) / 2 входит в интервал [-π; 2π].

Подставим значение синуса и косинуса в уравнение:

√3 + tg((3π) / 2) / (1 − √3*tg((3π) / 2)) = 1

√3 + (-∞) / (1 - (-∞)) = 1

Данное уравнение не выполняется, так как √3 + (-∞) / (1 - (-∞)) ≠ 1. Следовательно, x = (3π) / 2 не является корнем данного уравнения.

g) При x = 2π: значения синуса и косинуса равны sin(2π) = 0 и cos(2π) = 1. Также, 2π входит в интервал [-π; 2π].

Подставим значение синуса и косинуса в уравнение:

√3 + tg(2π) / (1 − √3*tg(2π)) = 1

√3 + 0 / (1 - 0) = 1

√3 = 1

Данное уравнение не выполняется, так как √3 ≠ 1. Следовательно, x = 2π не является корнем данного уравнения.

19. Итак, мы проверили все значения из интервала x∈[−π;2π] и обнаружили, что ни одно значение не удовлетворяет данному уравнению.

Ответ: Данное уравнение не имеет корней из заданного интервала x∈[−π; 2π].