Вариант 2 1. Постройте график функции у = 1,5 cos х; у =ctq 2x у = 2sin 1/2х. 2. По графику (а)найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции; б) нули функции; *в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.
Добрый день! Давайте разберем вашу задачу по шагам.
1. Построим графики функций:
- Функция у = 1,5 cos х:
- Для этого функции воспользуемся формулой графика cos х: y = A cos(Bx + C), где A - амплитуда, B - периодическая частота, C - сдвиг по оси абсцисс.
- В данном случае имеем: A = 1,5, B = 1, C = 0.
- Таким образом, получаем у = 1,5 cos x.
- Чтобы построить график, выберем несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции y.
- Например, возьмем x = 0, 30, 60, 90 градусов.
- Для каждого значения x вычислим значение функции y = 1,5 cos x.
- Получим следующие значения: y(0) = 1,5, y(30) ≈ 1,3, y(60) ≈ 0,75, y(90) = 0.
- Теперь построим график, откладывая на оси ординат (вертикальной оси) значения функции y. Построенный график будет представлять собой волнообразную кривую, проходящую через точки (0, 1,5), (30, 1,3), (60, 0,75), (90, 0), и т.д.
- Функция у = ctg 2x:
- Здесь у = ctg(2x).
- Для построения графика воспользуемся формулой графика ctg x: y = A ctg(Bx + C), где A - амплитуда, B - периодическая частота, C - сдвиг по оси абсцисс.
- В данном случае имеем: A = 1, B = 2, C = 0.
- Заметим, что ctg(x) = 1/tg(x). Таким образом, у = 1/tg(2x).
- Как и в предыдущем случае, выберем несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции y.
- Например, возьмем x = 0, 30, 60, 90 градусов.
- Вычислим значения: y(0) = ∞ (бесконечность), y(30) ≈ -0,15, y(60) ≈ 0,57, y(90) = 1.
- Построим график, откладывая на оси ординат значения функции y. График будет состоять из непрерывных периодических линий, проходящих через точки (0, ∞), (30, -0,15), (60, 0,57), (90, 1), и т.д.
- Функция у = 2sin(1/2x):
- Здесь у = 2sin(1/2x).
- Для построения графика воспользуемся формулой графика sin x: y = A sin(Bx + C), где A - амплитуда, B - периодическая частота, C - сдвиг по оси абсцисс.
- В данном случае имеем: A = 2, B = 1/2, C = 0.
- Таким образом, получаем у = 2sin(1/2x).
- Выберем несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции y.
- Например, возьмем x = 0, 30, 60, 90 градусов.
- Вычислим значения: y(0) = 0, y(30) = 1, y(60) ≈ 1,73, y(90) = 2.
- Построим график, откладывая на оси ординат значения функции y. В результате получим график, проходящий через точки (0, 0), (30, 1), (60, 1,73), (90, 2), и т.д.
2. Теперь перейдем ко второй части вопроса: поиск наименьших и наибольших значений функции, а также нулей функции.
а) Наименьшее и наибольшее значения функции:
- Для функции y = 1,5 cos x: наименьшее значение равно -1,5, наибольшее значение равно 1,5.
- Для функции y = ctg 2x: нет наименьшего и наибольшего значения, так как график функции неограничен и выходит за пределы осей ординат.
- Для функции y = 2sin(1/2x): наименьшее значение равно -2, наибольшее значение равно 2.
б) Нули функции:
- Нулевые значения функций соответствуют точкам, где графики функций пересекают ось ординат (то есть значения функции y равны нулю).
- Для функции y = 1,5 cos x: нулевые значения при x = π/2, 3π/2, 5π/2, и т.д. (то есть при каждом нечетном числе π/2).
- Для функции y = ctg 2x: нулевые значения отсутствуют, так как график функции не пересекает ось ординат.
- Для функции y = 2sin(1/2x): нулевые значения при x = 0, π, 2π, и т.д. (то есть при каждом четном числе π).
в) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:
- Для функции y = 1,5 cos x: отрицательные значения принимает при каждом нечетном числе π/2 (то есть при всех значениях x, для которых cos x < 0).
- Для функции y = ctg 2x: отрицательные значения принимает при каждом угле x, для которого tg(2x) < 0.
- Для функции y = 2sin(1/2x): отрицательные значения отсутствуют, так как синус всегда положителен (отрицательные значения принимает только при умножении на отрицательный коэффициент или сдвиге графика).
Надеюсь, ответ был понятен и подробен. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
1. Построим графики функций:
- Функция у = 1,5 cos х:
- Для этого функции воспользуемся формулой графика cos х: y = A cos(Bx + C), где A - амплитуда, B - периодическая частота, C - сдвиг по оси абсцисс.
- В данном случае имеем: A = 1,5, B = 1, C = 0.
- Таким образом, получаем у = 1,5 cos x.
- Чтобы построить график, выберем несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции y.
- Например, возьмем x = 0, 30, 60, 90 градусов.
- Для каждого значения x вычислим значение функции y = 1,5 cos x.
- Получим следующие значения: y(0) = 1,5, y(30) ≈ 1,3, y(60) ≈ 0,75, y(90) = 0.
- Теперь построим график, откладывая на оси ординат (вертикальной оси) значения функции y. Построенный график будет представлять собой волнообразную кривую, проходящую через точки (0, 1,5), (30, 1,3), (60, 0,75), (90, 0), и т.д.
- Функция у = ctg 2x:
- Здесь у = ctg(2x).
- Для построения графика воспользуемся формулой графика ctg x: y = A ctg(Bx + C), где A - амплитуда, B - периодическая частота, C - сдвиг по оси абсцисс.
- В данном случае имеем: A = 1, B = 2, C = 0.
- Заметим, что ctg(x) = 1/tg(x). Таким образом, у = 1/tg(2x).
- Как и в предыдущем случае, выберем несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции y.
- Например, возьмем x = 0, 30, 60, 90 градусов.
- Вычислим значения: y(0) = ∞ (бесконечность), y(30) ≈ -0,15, y(60) ≈ 0,57, y(90) = 1.
- Построим график, откладывая на оси ординат значения функции y. График будет состоять из непрерывных периодических линий, проходящих через точки (0, ∞), (30, -0,15), (60, 0,57), (90, 1), и т.д.
- Функция у = 2sin(1/2x):
- Здесь у = 2sin(1/2x).
- Для построения графика воспользуемся формулой графика sin x: y = A sin(Bx + C), где A - амплитуда, B - периодическая частота, C - сдвиг по оси абсцисс.
- В данном случае имеем: A = 2, B = 1/2, C = 0.
- Таким образом, получаем у = 2sin(1/2x).
- Выберем несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции y.
- Например, возьмем x = 0, 30, 60, 90 градусов.
- Вычислим значения: y(0) = 0, y(30) = 1, y(60) ≈ 1,73, y(90) = 2.
- Построим график, откладывая на оси ординат значения функции y. В результате получим график, проходящий через точки (0, 0), (30, 1), (60, 1,73), (90, 2), и т.д.
2. Теперь перейдем ко второй части вопроса: поиск наименьших и наибольших значений функции, а также нулей функции.
а) Наименьшее и наибольшее значения функции:
- Для функции y = 1,5 cos x: наименьшее значение равно -1,5, наибольшее значение равно 1,5.
- Для функции y = ctg 2x: нет наименьшего и наибольшего значения, так как график функции неограничен и выходит за пределы осей ординат.
- Для функции y = 2sin(1/2x): наименьшее значение равно -2, наибольшее значение равно 2.
б) Нули функции:
- Нулевые значения функций соответствуют точкам, где графики функций пересекают ось ординат (то есть значения функции y равны нулю).
- Для функции y = 1,5 cos x: нулевые значения при x = π/2, 3π/2, 5π/2, и т.д. (то есть при каждом нечетном числе π/2).
- Для функции y = ctg 2x: нулевые значения отсутствуют, так как график функции не пересекает ось ординат.
- Для функции y = 2sin(1/2x): нулевые значения при x = 0, π, 2π, и т.д. (то есть при каждом четном числе π).
в) Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения:
- Для функции y = 1,5 cos x: отрицательные значения принимает при каждом нечетном числе π/2 (то есть при всех значениях x, для которых cos x < 0).
- Для функции y = ctg 2x: отрицательные значения принимает при каждом угле x, для которого tg(2x) < 0.
- Для функции y = 2sin(1/2x): отрицательные значения отсутствуют, так как синус всегда положителен (отрицательные значения принимает только при умножении на отрицательный коэффициент или сдвиге графика).
Надеюсь, ответ был понятен и подробен. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!