Докажем методом математической индукции.
Пусть дано четное n = 2m, тогда требуется доказать, что
(17^(2m) - 1) делится нацело на 96.
17^(2m) - 1 = (17^2)^m - 1 = 289^m - 1.
Докажем, что (289^m - 1) делится нацело на 96, при любом натуральном m.
1) База индукции: при m=1 имеем 289¹ - 1 = 288 = 3·96 делится нацело на 96.
2) Предположение индукции.
Предположим, что для всех натуральных k≤m 289^k - 1 делится нацело на 96, то есть, 289^k - 1 = 96·A, где А - целое число.
Тогда докажем, что для 289^(k+1) - 1 делится нацело на 96.
3) Индуктивный переход.
289^(k+1) - 1 = 289·289^k - 1 = 289·(289^k - 1 + 1) - 1 =
= 289·(289^k - 1) + 289 - 1 = 289·(289^k - 1) + 288 = W,
т.к. по предположению индукции 289^k - 1 = 96·A, то имеем
W = 289·96·A + 3·96 = 96·( 289·A + 3) и т.к. A - целое, то и (289·A + 3) - тоже целое и 289^(k+1) - 1 делится нацело на 96. Ч.Т.Д.
Если голуби, стартовавшие синхронно и с одинаковой скоростью, долетели до зерна одновременно, значит, образованные фонарем, домом, землей и траекторией полета голубей два прямоугольных треугольника будут иметь равные гипотенузы (траектории полета голубей).
У одного треугольника катеты будут соответственно равны высоте дома (15 м) и отрезку земли до места, где Анна рассыпала зерно, обозначим его Х м.
У другого треугольника катеты будут соответственно равны высоте фонарного столба (8 м) и отрезку земли до места, где Анна рассыпала зерно:
23 - Х м.
Так как гипотенузы треугольников равны, то на основании теоремы Пифагора, согласно которому квадрат гипотенузы равен квадрату катетов, можно составить уравнение:
с2 = 152 + Х2 = 82 + (23 – Х) 2;
152 + Х2 = 82 + 232 – 2 * 23 * Х + Х2;
152 + Х2 = 82 + 232 – 2 * 23 * Х + Х2;
152 = 82 + 232 – 2 * 23 * Х;
225 = 64 + 529 – 46 * Х;
46 * Х = 64 + 529 – 225;
46 * Х = 368;
Х = 368 : 46;
Х = 8.
ответ: расстояние от дома до места, где рассыпано зерно, составляет 8 м.
Объяснение: