Question

решить дробно рациональные уравнения

1) x-3/x-5+7=80/x²-25

2) x-4/x-2+8/x²-4=2/x+2

3) x-1/x+4+x-9/4-x=40/x²-16

Answer 1

1) Для решения данного дробно-рационального уравнения сначала приведем оба уравнения к общему знаменателю.

Уравнение:

(x - 3)/(x - 5) + 7 = 80/(x² - 25)

1. Приведем оба знаменателя к общему знаменателю (x² - 25):

(x - 3)(x + 5)/(x - 5)(x + 5) + 7(x - 5)/(x - 5)(x + 5) = 80/(x - 5)(x + 5)

2. Упростим данное уравнение:

(x² + 2x - 15)/(x² - 25) + (7x - 35)/(x² - 25) = 80/(x² - 25)

(x² + 2x - 15 + 7x - 35)/(x² - 25) = 80/(x² - 25)

(x² + 9x - 50)/(x² - 25) = 80/(x² - 25)

3. Умножим оба уравнения на (x² - 25), чтобы избавиться от знаменателя:

(x² + 9x - 50) = 80

4. Распределим и упростим:

x² + 9x - 50 - 80 = 0

x² + 9x - 130 = 0

5. Решим получившееся квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена:

(x + 13)(x - 10) = 0

6. Ищем значения x:

x + 13 = 0 или x - 10 = 0

x = -13 или x = 10

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = -13 и x = 10.

2) Для решения данного дробно-рационального уравнения также приведем оба уравнения к общему знаменателю.

Уравнение:

(x - 4)/(x - 2) + 8/(x² - 4) = 2/(x + 2)

1. Приведем оба знаменателя к общему знаменателю (x² - 4):

(x - 4)(x + 2)/(x - 2)(x + 2) + 8/(x - 2)(x + 2) = 2/(x - 2)(x + 2)

2. Упростим данное уравнение:

(x² - 2x - 8)/(x² - 4) + (8)/(x² - 4) = 2/(x - 2)(x + 2)

(x² - 2x - 8 + 8)/(x² - 4) = 2/(x² - 4)

(x² - 2x)/(x² - 4) = 2/(x² - 4)

3. Умножим оба уравнения на (x² - 4), чтобы избавиться от знаменателя:

(x² - 2x) = 2

4. Распределим и упростим:

x² - 2x - 2 = 0

5. Решим получившееся квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена:

(x - 2)(x + 1) = 0

6. Ищем значения x:

x - 2 = 0 или x + 1 = 0

x = 2 или x = -1

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 2 и x = -1.

3) Для решения данного дробно-рационального уравнения снова приведем оба уравнения к общему знаменателю.

Уравнение:

(x - 1)/(x + 4) + (x - 9)/(4 - x) = 40/(x² - 16)

1. Приведем оба знаменателя к общему знаменателю (x² - 16):

(x - 1)(4 - x)/(x + 4)(4 - x) + (x - 9)/(4 - x) = 40/(x + 4)(4 - x)

2. Упростим данное уравнение:

(x² - 5x + 4)/(x² - 16) + (x - 9)/(4 - x) = 40/(x² - 16)

(x² - 5x + 4 + x - 9)/(x² - 16) = 40/(x² - 16)

(x² - 4x - 5)/(x² - 16) = 40/(x² - 16)

3. Умножим оба уравнения на (x² - 16), чтобы избавиться от знаменателя:

(x² - 4x - 5) = 40

4. Распределим и упростим:

x² - 4x - 5 - 40 = 0

x² - 4x - 45 = 0

5. Решим получившееся квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена:

(x - 9)(x + 5) = 0

6. Ищем значения x:

x - 9 = 0 или x + 5 = 0

x = 9 или x = -5

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 9 и x = -5.