Question

Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС . Точка D равноудалена от концов отрезка ВС, точка А также равноудалена от концов отрезка ВС.

а) Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.

Дано:

Доказать:

Answer 1

Для доказательства того, что прямые ВС и АD перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством, которое говорит, что если точка находится на биссектрисе угла треугольника, то она равноудалена от сторон этого угла.

Давайте рассмотрим треугольник АВС. Мы знаем, что точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС, а точка А равноудалена от концов отрезка ВС. Это значит, что точка D должна находиться на биссектрисе угла ВАС.

Теперь предположим, что прямые ВС и АD не перпендикулярны. Это означает, что они пересекаются под углом. Пусть точка E - точка пересечения этих прямых. Тогда мы можем построить отрезки AE и CE.

Так как точка А равноудалена от концов отрезка ВС, то отрезки AE и CE должны быть равны. К тому же, точка D находится на биссектрисе угла ВАС, и, следовательно, точка D должна быть равноудалена от сторон этого угла, то есть отрезки DE и CD должны быть равны.

Теперь у нас есть два равных отрезка - AE и CE, и два равных отрезка - DE и CD. Но это означает, что точка D должна совпадать с точкой E, так как нет другой точки, которая была бы одновременно равноудалена от сторон угла ВАС.

Но это противоречит условию, что точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС. Таким образом, наше предположение о пересечении прямых ВС и АD под углом оказывается ложным.

Следовательно, мы можем заключить, что прямые ВС и АD перпендикулярны.